Przestrzeń Frécheta (topologia)

Przestrzeń Frécheta (także przestrzeń Frécheta-Uryshona) – w topologii ogólnej, przestrzeń topologiczna $X$ o tej własności, że dla każdego podzbioru $A\subseteq X,$ punkt $x\in X$ należy do domknięcia zbioru $A$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest granicą ciągu elementów zbioru $A,$ tj. istnieje taki ciąg

x_{1},x_{2},x_{3},\dots \in A,

że

x=\lim _{n\to \infty }x_{n}

^[1].

Nazwa pojęcia

Nazwa pojęcia odnosi się do nazwiska francuskiego matematyka Maurice’a Frécheta, który rozważał abstrakcyjne struktury topologiczne zdefiniowane w terminach ciągów zbieżnych. W matematyce istnieją także inne znaczenia terminu przestrzeń Frécheta (dawniej określano nim przestrzenie T₁; w analizie funkcjonalnej termin ten funkcjonauje w kontekście pewnej klasy przestrzeni liniowo-topologicznych).

Własności

Każda przestrzeń spełniająca pierwszy aksjomat przeliczalności jest przestrzenią Frécheta^[1].
Podprzestrzeń przestrzeni Frécheta jest przestrzenią Frécheta^[2].
Iloczyn kartezjański (z topologią Tichonowa) przestrzeni Frécheta nie musi być przestrzenią Frécheta^[3]^[4].
Każde przekształcenie ilorazowe $f\colon X\to Y$ na przestrzeń Frécheta $Y,$ w której każdy ciąg ma co najwyżej jedną granicę (a więc w szczególności na T₂-przestrzeń Frécheta), jest dziedzicznie ilorazowe^[5].

Przypisy

↑ ^a ^b Engelking 1976 ↓, s. 78.
↑ Engelking 1976 ↓, s. 102.
↑ S. Franklin, Spaces in which sequences suffice II, „Fund. Math.” 61 (1967), s. 51–56.
↑ Engelking 1976 ↓, s. 122.
↑ Engelking 1976 ↓, s. 133.

Bibliografia

Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Wyd. pierwsze. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1976.

[CITEREFEngelking197678-1] Engelking 1976 ↓, s. 78.

[CITEREFEngelking1976102-2] Engelking 1976 ↓, s. 102.

[3] S. Franklin, Spaces in which sequences suffice II, „Fund. Math.” 61 (1967), s. 51–56.

[CITEREFEngelking1976122-4] Engelking 1976 ↓, s. 122.

[CITEREFEngelking1976133-5] Engelking 1976 ↓, s. 133.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]