Rozkład biegunowy operatora

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Rozkładem biegunowym operatora działającego w przestrzeni Hilberta H nazywamy takie przedstawienie operatora , dla którego

  • operator r jest operatorem dodatnim
  • na jądrze operatora
  • odwzorowuje izometrycznie jądro a na przestrzeń prostopadłą do jądra .

Przedstawienie takie jest jednoznaczne.

Motywacja[edytuj]

Rozkład biegunowy operatora jest analogią do rozkładu biegunowego liczby zespolonej, tzn. (kolejność analogiczna do powyższego przedstawienia). Komplikacje powyższego rozkładu wynikają stąd, że nie ma czegoś takiego jak operator fazy, tzn. nie można napisać — oznaczenia operatorów zostały dodane dla podkreślenia, że mamy do czynienia nie z liczbami, a operatorami działającymi w przestrzeni Hilberta (a więc przestrzeni wektorowej), której wymiar w ogólności może być nieskończony.

Szkic dowodu[edytuj]

Niech H będzie przestrzenią Hilberta. Dany jest operator ograniczony a ∈ ℬ(H). Operator a*a jest dodatni (a zatem samosprzężony). widmo a*a jest podzbiorem [0, ∞). Stosując ciagły rachunek funkcyjny dla operatorów samosprzężonych, można zdefiniować operator

W szczególności r* = r, co oznaczam iż dla każdego ξH zachodzi równość

Na mocy tożsamości polaryzacyjnej obrazy r(H) i a(H) są izometryczne. Istnieje zatem taka częściowa izometria u, że

Przykłady[edytuj]

  • Rozkład biegunowy macierzy odpowiadającej grupie Lorentza bez odbić przestrzennych daje obrót jako (częściową) izometrię oraz pchnięcie jako operator dodatni.

Zobacz też[edytuj]