Twierdzenie spektralne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie spektralne – wspólna nazwa twierdzeń w algebrze liniowej i analizie funkcjonalnej uogólniających twierdzenie teorii macierzy mówiące, że

Każda macierz normalna może zostać zdiagonalizowana (przy pomocy odpowiedniej macierzy przejścia).

Ściślej, jeżeli traktujemy macierz normalną jako macierz pewnego endomorfizmu przestrzeni euklidesowej, to można znaleźć bazę ortonormalną tej przestrzeni, w której macierz ta będzie diagonalna. Twierdzenia spektralne uogólniają ten fakt na przestrzenie nieskończenie wymiarowe z punktu widzenia algebry i analizy funkcjonalnej.

Operatory samosprzężone[edytuj]

Przypadek rzeczywisty[edytuj]

Niech będzie przestrzenią ortogonalną nad ciałem liczb rzeczywistych z dodatnio określonym funkcjonałem dwuliniowym[1]. Jeśli jest endomorfizmem samosprzężonym, to istnieje baza ortogonalna przestrzeni złożona z wektorów własnych endomorfizmu

Przypadek zespolony[edytuj]

Niech będzie przestrzenią liniową skończonego wymiaru nad ciałem liczb zespolonych z formą hermitowską dodatnio określoną[1]. Jeśli jest operatorem samosprzężonym, to istnieje baza ortogonalna przestrzeni złożona z wektorów własnych operatora

Wniosek[edytuj]

Przy założeniach powyższych twierdzeń:

Istnieje baza ortonormalna przestrzeni złożona z wektorów własnych operatora . Wystarczy wektory bazy ortogonalnej unormować (tzn. każdy wektor podzielić przez jego normę).

Operatory normalne[edytuj]

Twierdzenie spektralne mówi, że każdemu operatorowi normalnemu odpowiada dokładnie jedna hermitowska miara spektralna na rodzinie borelowskich podzbiorów jego widma o tej własności, że operator ten może być odtworzony z niej w sposób jednoznaczny. Ściślej, jeśli jest przestrzenią Hilberta oraz jest operatorem normalnym, to istnieje dokładnie jedna hermitowska miara spektralna określona na rodzinie borelowskich podzbiorów taka, że

.

Hermitowskie miary spektralne są miarami wektorowymi, a całka w powyższym wzorze oznacza właśnie całkę względem miary wektorowej z (tożsamościowej) funkcji skalarnej.

Uwagi[edytuj]

  • Miara spektralna z powyższego twierdzenia nazywana jest również rozkładem spektralnym operatora lub przedstawieniem spektralnym operatora .
  • Jeżeli jest borelowskim podzbiorem oraz jest operatorem ograniczonym, który komutuje z , tzn. , to operator (hermitowskie miary spektralne mają wartości operatorowe) komutuje z .
  • Twierdzenie spektralne może być postrzegane jako szczególny przypadek twierdzenia dotyczącego raczej całych algebr operatorów normalnych niż ich pojedynczych elementów:
Niech oznacza algebrę wszystkich ograniczonych (ciągłych) operatorów na przestrzeni Hilberta . Jeśli jest domkniętą podalgebrą złożoną z operatorów normalnych, która zawiera operator identycznościowy i jeśli jest przestrzenią ideałów maksymalnych , to
(a) istnieje dokładnie jedna miara wektorowa na rodzinie borelowskich podzbiorów o wartościach w taka, że
dla każdego , gdzie jest transformacją Gelfanda ,
(b) odwrotną transormację Gelfanda (tj. odwzorowanie ) można przedłużyć do izometrycznego *-izomorfizmu algebry na domkniętą podalgebrę w , . Co więcej, *-izomorfizm wyraża się wzorem
.
Dokładniej, jest izometrycznym operatorem liniowym i multyplikatywnym takim, że dla .
(c) ,
(d) jeśli jest otwarty i niepusty, to ,
(e) operator komutuje z każdym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego operator komutuje z .

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. a b Przestrzeń o której mowa to szczególny przypadek przestrzeni Hilberta.

Bibliografia[edytuj]