Powinowactwo osiowe: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie

[wersja przejrzana]

← poprzednia edycja następna edycja →

Usunięta treść Dodana treść

WizualnieWikikod

Jednokolumnowy

Wersja z 21:21, 18 wrz 2009

Powinowactwo osiowe to rodzaj przekształcenia afinicznego na płaszczyźnie.

Definicja

Powinowactwo osiowe f o osi k jest to takie przekształcenie afiniczne na płaszczyźnie, w którym prosta k jest prostą punktów stałych tego przekształcenia.

Równoważna definicja - Odwzorowanie geometryczne f na płaszczyźnie nazywamy powinowactwem osiowym o osi k, jeżeli każda prosta nierównoległa do prostej k i jej obraz pokrywają się lub przecinają się w punkcie leżącym na osi k.

Wektor powinowactwa jest to uporządkowana para punktów nie leżąca na osi k: dowolny punkt A i jego obraz punkt A'.

Kierunek powinowactwa jest zbiór wszystkich prostych równoległych do wektora powinowactwa.

Stosunek powinowactwa jest to liczba s spełniająca warunek: ${\vec {A_{P}'A'}}=s\cdot {\vec {A_{P}A}}$ , gdzie punkty A_P i A'_P są rzutami prostokątnymi punktu A i jego obrazu A' na oś k.

Własności

dla dowolnych punktów A i B nie będących punktami stałymi powinowactwa osiowego f proste Af(A) i Bf(B) są równoległe.
jeśli wektor powinowactwa jest zerowy (A=A'), to powinowactwo osiowe staje się przekształceniem tożsamościowym.
jedynymi punktami stałymi w powinowactwie osiowym różnym od tożsamościowego są punkty osi powinowactwa k.
jedynymi prostymi stałymi powinowactwa osiowego nietożsamościowego jest oś powinowactwa k i wszystkie proste równoległe do kierunku powinowactwa.
powinowactwo osiowe jest wyznaczone jednoznacznie, gdy podamy oś powinowactwa k i wektor powinowactwa.
powinowactwo osiowe jest wyznaczone jednoznacznie, gdy podamy oś powinowactwa k, kierunek powinowactwa oraz stosunek powinowactwa s różny od 1.

Fakty

Można udowodnić, że każde przekształcenie afiniczne daje się przedstawić jako złożenie pewnego powinowactwa osiowego i pewnego podobieństwa.

Rodzaje powinowactwa osiowego:

powinowactwo prostokątne - kierunek powinowactwa jest prostopadły do osi powinowactwa
powinowactwo ścinające (ścięcie) - kierunek powinowactwa jest równoległy do osi powinowactwa
symetria skośna - środek wektora powinowactwa leży na na osi powinowactwa
symetria osiowa - kierunek powinowactwa jest prostopadły do osi i środek wektora leży na osi

Każde przekształcenie afiniczne na płaszczyźnie jest powinowactwem osiowym lub złożeniem co najwyżej trzech powinowactw osiowych. Z tego wynika, że powinowactwa osiowe generują grupę przekształceń afinicznych.

Literatura

Jerzy Bednarczuk: Urok przekształceń afinicznych. Warszawa: 1978.

Zobacz też

@@ Linia 2: / Linia 2: @@
 ==Definicja==
+'''Powinowactwo osiowe''' ''f'' o osi ''k'' jest to takie [[przekształcenie afiniczne]] na płaszczyźnie, w którym prosta ''k'' jest prostą punktów stałych tego przekształcenia.
-[[Odwzorowanie geometryczne]] ''f'' na płaszczyźnie nazywamy '''powinowactwem osiowym''' o osi ''k'', jeżeli
-każda prosta nierównoległa do prostej ''k'' i jej obraz mają punkt wspólny leżący na osi ''k''.
-Równoważna definicja - '''powinowactwo osiowe''' ''f'' o osi ''k'' jest to takie [[przekształcenie afiniczne]] na płaszczyźnie, w którym prosta ''k'' jest prostą punktów stałych tego przekształcenia.
+Równoważna definicja - [[Odwzorowanie geometryczne]] ''f'' na płaszczyźnie nazywamy '''powinowactwem osiowym''' o osi ''k'', jeżeli każda prosta nierównoległa do prostej ''k'' i jej obraz pokrywają się lub przecinają się w punkcie leżącym na osi ''k''.