Powinowactwo osiowe

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Powinowactwo osiowe – rodzaj przekształcenia afinicznego na płaszczyźnie.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Powinowactwo osiowe o osi jest to takie przekształcenie afiniczne na płaszczyźnie, w którym prosta jest prostą punktów stałych tego przekształcenia.

Równoważna definicja: Odwzorowanie geometryczne na płaszczyźnie nazywamy powinowactwem osiowym o osi jeżeli każda prosta nierównoległa do prostej i jej obraz pokrywają się lub przecinają się w punkcie leżącym na osi

Wektor powinowactwa jest to uporządkowana para punktów nie leżąca na osi dowolny punkt i jego obraz punkt

Kierunek powinowactwa jest zbiór wszystkich prostych równoległych do wektora powinowactwa.

Stosunek powinowactwa jest to liczba spełniająca warunek: gdzie punkty i są rzutami prostokątnymi punktu i jego obrazu na oś

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Dla dowolnych punktów i niebędących punktami stałymi powinowactwa osiowego proste i są równoległe.
  • Jeśli wektor powinowactwa jest zerowy to powinowactwo osiowe staje się przekształceniem tożsamościowym.
  • Jedynymi punktami stałymi w powinowactwie osiowym różnym od tożsamościowego są punkty osi powinowactwa
  • Jedynymi prostymi stałymi powinowactwa osiowego nietożsamościowego jest oś powinowactwa i wszystkie proste równoległe do kierunku powinowactwa.
  • Powinowactwo osiowe jest wyznaczone jednoznacznie, gdy podamy oś powinowactwa i wektor powinowactwa.
  • Powinowactwo osiowe jest wyznaczone jednoznacznie, gdy podamy oś powinowactwa kierunek powinowactwa oraz stosunek powinowactwa różny od 1.

Niezmienniki[edytuj | edytuj kod]

  • stosunek długości równoległych odcinków
  • stosunek podziału wektora
  • stosunek pól figur

Fakty[edytuj | edytuj kod]

Można udowodnić, że każde przekształcenie afiniczne daje się przedstawić jako złożenie pewnego powinowactwa osiowego i pewnego podobieństwa.

Rodzaje powinowactwa osiowego:

  • powinowactwo prostokątne – kierunek powinowactwa jest prostopadły do osi powinowactwa,
  • powinowactwo ścinające (ścięcie) – kierunek powinowactwa jest równoległy do osi powinowactwa,
  • symetria skośna – środek wektora powinowactwa leży na osi powinowactwa,
  • symetria osiowa – kierunek powinowactwa jest prostopadły do osi i środek wektora leży na osi.

Każde przekształcenie afiniczne na płaszczyźnie jest powinowactwem osiowym lub złożeniem co najwyżej trzech powinowactw osiowych. Z tego wynika, że powinowactwa osiowe generują grupę przekształceń afinicznych.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Jerzy Bednarczuk: Urok przekształceń afinicznych. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1978.