Całkowanie przez podstawienie: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
→Przykłady: drobne redakcyjne |
m Wspomagane przez robota ujednoznacznienie: Przegląd zagadnień z zakresu matematyki - Zmieniono link(i) Wikipedia:Skarbnica Wikipedii/Przegląd zagadnień z zakresu matematyki; zmiany kosmetyczne |
||
Linia 1: | Linia 1: | ||
'''Całkowanie przez podstawienie''' to jedna z metod obliczania zamkniętych form [[całka|całek]]. |
'''Całkowanie przez podstawienie''' to jedna z metod obliczania zamkniętych form [[całka|całek]]. |
||
__TOC__ |
__TOC__ |
||
==Opis metody== |
== Opis metody == |
||
Jeśli: |
Jeśli: |
||
*Funkcja <math>\psi(x)</math> jest [[różniczkowalność|różniczkowalna]] w <math>D</math> |
* Funkcja <math>\psi(x)</math> jest [[różniczkowalność|różniczkowalna]] w <math>D</math> |
||
*<math>I=\psi(D)</math> jest [[przedział (matematyka)|przedziałem]] |
* <math>I=\psi(D)</math> jest [[przedział (matematyka)|przedziałem]] |
||
*Funkcja <math>g(x)</math> ma [[funkcja pierwotna|funkcję pierwotną]] w I, tzn.<math>G'(t) = g(t)</math> |
* Funkcja <math>g(x)</math> ma [[funkcja pierwotna|funkcję pierwotną]] w I, tzn.<math>G'(t) = g(t)</math> |
||
*<math>f(x) = g(\psi(x)) \cdot \psi'(x), x \in D</math> |
* <math>f(x) = g(\psi(x)) \cdot \psi'(x), x \in D</math> |
||
to funkcja ''f'' jest całkowalna w <math>D</math> oraz: |
to funkcja ''f'' jest całkowalna w <math>D</math> oraz: |
||
:<math>\int f(x) dx = \int g(\psi(x)) \cdot \psi'(x) dx = G(\psi(x)) + C</math> |
:<math>\int f(x) dx = \int g(\psi(x)) \cdot \psi'(x) dx = G(\psi(x)) + C</math> |
||
Linia 20: | Linia 20: | ||
* Funkcja ''f'' jest całkowalna w swej dziedzinie. |
* Funkcja ''f'' jest całkowalna w swej dziedzinie. |
||
* Funkcja ''g'' określona na przedziale ''[a; b]'' jest różniczkowalna w sposób ciągły. |
* Funkcja ''g'' określona na przedziale ''[a; b]'' jest różniczkowalna w sposób ciągły. |
||
* ''g'(x) |
* ''g'(x)≠0'' dla każdego ''x'' z przedziału ''(a; b)'' |
||
* Obraz funkcji ''g'' zawiera się w dziedzinie funkcji ''f''. |
* Obraz funkcji ''g'' zawiera się w dziedzinie funkcji ''f''. |
||
Wówczas: |
Wówczas: |
||
:<math>\int\limits_{g(a)}^{g(b)}f(x)dx = \int\limits_a^bf(g(t)) \cdot g'(t)dt</math> |
:<math>\int\limits_{g(a)}^{g(b)}f(x)dx = \int\limits_a^bf(g(t)) \cdot g'(t)dt</math> |
||
==Przykłady== |
== Przykłady == |
||
*Obliczając całkę <math>\int \tfrac{\ln x}{x} dx</math>, zastosować można podstawienie <math>\ln x = t</math>, tzn.<math>\tfrac{dx}{x} = dt</math>, więc: |
* Obliczając całkę <math>\int \tfrac{\ln x}{x} dx</math>, zastosować można podstawienie <math>\ln x = t</math>, tzn.<math>\tfrac{dx}{x} = dt</math>, więc: |
||
:<math>\int \frac{\ln x}{x} dx = \int t dt = {1 \over 2} t^2 + C = {1 \over 2} \ln^2 x + C</math>. |
:<math>\int \frac{\ln x}{x} dx = \int t dt = {1 \over 2} t^2 + C = {1 \over 2} \ln^2 x + C</math>. |
||
*Przykład zastosowania metody całkowania przez podstawienie z pominięciem pomocniczej zmiennej: |
* Przykład zastosowania metody całkowania przez podstawienie z pominięciem pomocniczej zmiennej: |
||
:<math>\int \sin (2x+3) dx = \frac{1}{2} \int \sin (2x+3) 2 dx = \frac{1}{2} \int \sin (2x+3) d(2x+3) = - \frac{1}{2} \cos (2x+3) + C.</math> |
:<math>\int \sin (2x+3) dx = \frac{1}{2} \int \sin (2x+3) 2 dx = \frac{1}{2} \int \sin (2x+3) d(2x+3) = - \frac{1}{2} \cos (2x+3) + C.</math> |
||
== Przydatne podstawienia == |
== Przydatne podstawienia == |
||
===Całkowanie funkcji trygonometrycznych=== |
=== Całkowanie funkcji trygonometrycznych === |
||
Całkując [[funkcja wymierna|funkcje wymierne]] [[funkcje trygonometryczne|funkcji trygonometrycznych]] (czyli funkcje postaci <math>R(\sin x, \cos x) </math>) stosuje się podstawienia pozwalające na wyeliminowanie ich z obliczeń: |
Całkując [[funkcja wymierna|funkcje wymierne]] [[funkcje trygonometryczne|funkcji trygonometrycznych]] (czyli funkcje postaci <math>R(\sin x, \cos x) </math>) stosuje się podstawienia pozwalające na wyeliminowanie ich z obliczeń: |
||
*W ogólności stosować można zawsze tzw. podstawienie uniwersalne <math>t = \operatorname{tg}{x \over 2}</math>. Jeżeli jednak funkcja spełnia jeden z podanych niżej warunków, wygodniej jest stosować podstawienie z nim związane. |
* W ogólności stosować można zawsze tzw. podstawienie uniwersalne <math>t = \operatorname{tg}{x \over 2}</math>. Jeżeli jednak funkcja spełnia jeden z podanych niżej warunków, wygodniej jest stosować podstawienie z nim związane. |
||
*Jeśli funkcja jest [[funkcja nieparzysta|nieparzysta]] ze względu na [[sinus]] (<math>R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)</math>), stosuje się podstawienie <math>t = \cos x</math> |
* Jeśli funkcja jest [[funkcja nieparzysta|nieparzysta]] ze względu na [[sinus]] (<math>R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)</math>), stosuje się podstawienie <math>t = \cos x</math> |
||
*Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na [[cosinus]] (<math>R(\sin x, -\cos x) = -R(\sin x, \cos x)</math>), stosuje się podstawienie <math>t = \sin x</math> |
* Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na [[cosinus]] (<math>R(\sin x, -\cos x) = -R(\sin x, \cos x)</math>), stosuje się podstawienie <math>t = \sin x</math> |
||
*Jeśli funkcja jest [[funkcja parzysta|parzysta]] ze względu na sinus i cosinus równocześnie (<math>R(-\sin x, -\cos x) = R(\sin x, \cos x)</math>), stosuje się podstawienie <math>t = \operatorname{tg}x</math> |
* Jeśli funkcja jest [[funkcja parzysta|parzysta]] ze względu na sinus i cosinus równocześnie (<math>R(-\sin x, -\cos x) = R(\sin x, \cos x)</math>), stosuje się podstawienie <math>t = \operatorname{tg}x</math> |
||
Za pomocą [[jedynka trygonometryczna|jedynki trygonometrycznej]] oraz innych tożsamości trygonometrycznych wyprowadzić można czynniki zastępujące funkcje trygonometryczne, w szczególności w przypadku podstawienia uniwersalnego: |
Za pomocą [[jedynka trygonometryczna|jedynki trygonometrycznej]] oraz innych tożsamości trygonometrycznych wyprowadzić można czynniki zastępujące funkcje trygonometryczne, w szczególności w przypadku podstawienia uniwersalnego: |
||
Linia 56: | Linia 56: | ||
<center><math>\sin x \cos x= \frac{\sin x \cos x}{\sin ^2 x + \cos ^2 x} \cdot \frac{\cos ^2 x}{\cos ^2 x} = \frac{t}{t^2 + 1}</math></center> |
<center><math>\sin x \cos x= \frac{\sin x \cos x}{\sin ^2 x + \cos ^2 x} \cdot \frac{\cos ^2 x}{\cos ^2 x} = \frac{t}{t^2 + 1}</math></center> |
||
====Przykłady==== |
==== Przykłady ==== |
||
Przykład zastosowania podstawienia uniwersalnego: |
Przykład zastosowania podstawienia uniwersalnego: |
||
<center><math>\int \frac{dx}{1+\sin x+\cos x} = \int \frac{\frac{2}{1+t^2}dt}{1+\frac{2t}{t^2+1}+\frac{1-t^2}{1+t^2}} = \int \frac{2dt}{1+t^2+2t+1-t^2} = </math></center> |
<center><math>\int \frac{dx}{1+\sin x+\cos x} = \int \frac{\frac{2}{1+t^2}dt}{1+\frac{2t}{t^2+1}+\frac{1-t^2}{1+t^2}} = \int \frac{2dt}{1+t^2+2t+1-t^2} = </math></center> |
||
Linia 102: | Linia 102: | ||
Poniższe typy całek można sprowadzić do całek funkcji wymiernych, których argumentami są funkcje trygonometryczne, przy pomocy podanych podstawień: |
Poniższe typy całek można sprowadzić do całek funkcji wymiernych, których argumentami są funkcje trygonometryczne, przy pomocy podanych podstawień: |
||
*<math>\int R(x,\sqrt{x^2+a^2})dx</math> - podstawiamy <math>x = a \operatorname{sinh} t</math> lub <math>x = a \operatorname{tan} t</math> |
* <math>\int R(x,\sqrt{x^2+a^2})dx</math> - podstawiamy <math>x = a \operatorname{sinh} t</math> lub <math>x = a \operatorname{tan} t</math> |
||
*<math>\int R(x,\sqrt{x^2-a^2})dx</math> - podstawiamy <math>x = a \operatorname{cosh} t</math> lub <math>x = a \operatorname{sec} t</math> |
* <math>\int R(x,\sqrt{x^2-a^2})dx</math> - podstawiamy <math>x = a \operatorname{cosh} t</math> lub <math>x = a \operatorname{sec} t</math> |
||
*<math>\int R(x,\sqrt{a^2-x^2})dx</math> - podstawiamy <math>\ x = a \tanh t</math> lub <math>\ x = a \sin t</math> |
* <math>\int R(x,\sqrt{a^2-x^2})dx</math> - podstawiamy <math>\ x = a \tanh t</math> lub <math>\ x = a \sin t</math> |
||
=== Inne podstawienia === |
=== Inne podstawienia === |
||
Linia 111: | Linia 111: | ||
== Zobacz też == |
== Zobacz też == |
||
* [[przegląd zagadnień z zakresu matematyki]] |
* [[Wikipedia:Skarbnica Wikipedii/Przegląd zagadnień z zakresu matematyki|przegląd zagadnień z zakresu matematyki]] |
||
* [[całkowanie przez części]] |
* [[całkowanie przez części]] |
||
[[Kategoria:Całki]] |
[[Kategoria:Całki]] |
||
Wersja z 12:46, 27 mar 2010
Całkowanie przez podstawienie to jedna z metod obliczania zamkniętych form całek.
Opis metody
Jeśli:
- Funkcja jest różniczkowalna w
- jest przedziałem
- Funkcja ma funkcję pierwotną w I, tzn.
to funkcja f jest całkowalna w oraz:
Równoważnie, jeśli całkę można sprowadzić do postaci:
- ,
to można zmienić podstawę całkowania na :
- .
W przypadku obliczania całek oznaczonych poprzez podstawienie zmianie ulegają granice całkowania. W takim przypadku twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie wygląda następująco:
Zakładamy, że:
- Funkcja f jest całkowalna w swej dziedzinie.
- Funkcja g określona na przedziale [a; b] jest różniczkowalna w sposób ciągły.
- g'(x)≠0 dla każdego x z przedziału (a; b)
- Obraz funkcji g zawiera się w dziedzinie funkcji f.
Wówczas:
Przykłady
- Obliczając całkę , zastosować można podstawienie , tzn., więc:
- .
- Przykład zastosowania metody całkowania przez podstawienie z pominięciem pomocniczej zmiennej:
Przydatne podstawienia
Całkowanie funkcji trygonometrycznych
Całkując funkcje wymierne funkcji trygonometrycznych (czyli funkcje postaci ) stosuje się podstawienia pozwalające na wyeliminowanie ich z obliczeń:
- W ogólności stosować można zawsze tzw. podstawienie uniwersalne . Jeżeli jednak funkcja spełnia jeden z podanych niżej warunków, wygodniej jest stosować podstawienie z nim związane.
- Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na sinus (), stosuje się podstawienie
- Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na cosinus (), stosuje się podstawienie
- Jeśli funkcja jest parzysta ze względu na sinus i cosinus równocześnie (), stosuje się podstawienie
Za pomocą jedynki trygonometrycznej oraz innych tożsamości trygonometrycznych wyprowadzić można czynniki zastępujące funkcje trygonometryczne, w szczególności w przypadku podstawienia uniwersalnego: zachodzi:
W przypadku podstawienia mamy dla funkcji postaci : ,
Przykłady
Przykład zastosowania podstawienia uniwersalnego:
Podstawienia Eulera
Zasugerowano, aby ta sekcja została przeniesiona do artykułu podstawienia Eulera. (dyskusja) |
Podstawienia Eulera stosujemy przy obliczaniu całek funkcji postaci , gdzie R jest funkcją wymierną.
I podstawienie Eulera
I podstawienie stosować można, gdy a>0. Przyjmujemy wtedy: . Wobec tego otrzymujemy:
,
.
Zgodnie z przyjętym podstawieniem, mamy: .
II podstawienie Eulera
II podstawienie stosować można, gdy c>0. Przyjmujemy wówczas: . Mamy zatem:
,
.
Zgodnie z przyjętym podstawieniem, otrzymujemy: .
III podstawienie Eulera
III podstawienie stosować można, gdy istnieją dwa różne pierwiastki rzeczywiste x0, x1 trójmianu . Przyjmujemy wtedy: . Stąd:
,
.
Zgodnie z przyjętym podstawieniem, mamy:
Całkowanie różniczek dwumiennych
Różniczka dwumienna jest to wyrażenie postaci: , gdzie a,b są liczbami rzeczywistymi (niezerowymi), zaś m, n, p liczbami wymiernymi. Przyjmijmy ponadto , gdzie q, r są całkowite. Twierdzenie Czebyszewa mówi, iż całkę można wyrazić za pomocą skończonej liczby funkcji elementarnych jedynie w trzech przypadkach:
- gdy p jest liczbą całkowitą ; przypadek nie wymaga podstawień.
- gdy jest liczbą całkowitą; stosujemy wtedy podstawienie .
- gdy jest liczbą całkowitą; stosujemy podstawienie .
Podstawienia trygonometryczne
Poniższe typy całek można sprowadzić do całek funkcji wymiernych, których argumentami są funkcje trygonometryczne, przy pomocy podanych podstawień:
- - podstawiamy lub
- - podstawiamy lub
- - podstawiamy lub
Inne podstawienia
- Całki typu obliczamy przez podstawienie . Stąd: .
- Całki typu , gdzie p1, p2, ..., pn są liczbami wymiernymi, sprowadzamy do całki funkcji wymiernej podstawiając , gdzie k jest najmniejszym wspólnym mianownikiem liczb p1, p2, ..., pn.