Rozmaitość liniowa: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
pokornie wprowadzam stylistyczną poprawkę |
- szablon |
||
Linia 1: | Linia 1: | ||
{{Czy wiesz do artykułu|1}} |
|||
'''Rozmaitość liniowa''' – [[zbiór]] [[punkt (geometria)|punktów]] [[przestrzeń afiniczna|przestrzeni afinicznej]] <math>\mathfrak{U}</math> rozpiętej nad [[przestrzeń liniowa|przestrzenią wektorową]] <math>\mathbb{V}</math> zdefiniowany następująco |
'''Rozmaitość liniowa''' – [[zbiór]] [[punkt (geometria)|punktów]] [[przestrzeń afiniczna|przestrzeni afinicznej]] <math>\mathfrak{U}</math> rozpiętej nad [[przestrzeń liniowa|przestrzenią wektorową]] <math>\mathbb{V}</math> zdefiniowany następująco |
||
: <math>M_0+\mathbb{W}:=\{ M_0 + w : w\in\mathbb{W} \}</math>, |
: <math>M_0+\mathbb{W}:=\{ M_0 + w : w\in\mathbb{W} \}</math>, |
Wersja z 17:52, 27 wrz 2015
Rozmaitość liniowa – zbiór punktów przestrzeni afinicznej rozpiętej nad przestrzenią wektorową zdefiniowany następująco
- ,
dla pewnego punktu i pewnej podprzestrzeni wektorowej [1].
Punkt nazywany jest punktem początkowym rozmaitości liniowej, a podprzestrzeń wektorowa nazywana jest przestrzenią kierunkową rozmaitości[1].
Własności:
- Każdy punkt danej rozmaitości liniowej można przyjąć za jej punkt początkowy[2].
- Przestrzeń kierunkowa danej rozmaitości jest wyznaczona jednoznacznie[2].
Wymiar rozmaitości
Wymiarem rozmaitości nazywa się wymiar jej przestrzeni kierunkowej.
Jeśli więc przestrzeń kierunkowa rozmaitości ma wymiar m, to o rozmaitości mówi się Rozmaitość liniowa m-wymiarowa[3].
Rozmaitość z przestrzenią kierunkową , dla której
- nazywa się prostą
- nazywa się płaszczyzną:
- nazywa się hiperpłaszczyzną:[3].
Przykłady rozmaitości liniowych
Przykłady rozmaitości liniowych:
- Przestrzeń afiniczna jest rozmaitością liniową, której przestrzeń kierunkową stanowi przestrzeń wektorowa, nad którą rozpięta jest przestrzeń afiniczna, a punktem początkowym – dowolny punkt tej przestrzeni afinicznej[4];
- rozmaitość zerowymiarowa:
- Jeśli , to rozmaitość . Zatem rozmaitość jest zerowymiarowa wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednopunktowa[5]
- proste równoległe:
- Niech będzie płaszczyzną kartezjańską. Rozpatrzmy przestrzeń afiniczną rozpiętą nad . Niech będzie jednowymiarową podprzestrzenią przestrzeni liniowej . Niech będzie punktem płaszczyzny . Wtedy to prosta równoległa do prostej , gdzie to początek układu współrzędnych[6] (patrz: rysunek obok).
Rozmaitości liniowe a przestrzenie afiniczne
Lemat
Dowód lematu
Jeśli , to . Zatem i istnieje taki wektor , dla którego . Stąd wynika, że [8].
Twierdzenie
Rozmaitość liniowa przestrzeni afinicznej rozpiętej nad przestrzenią wektorową jest przestrzenią afiniczną związaną z przestrzenią liniową [9].
Dowód twierdzenia
Jeśli , to . Stąd:
- .
Rozważmy funkcję taką, że:
- .
Łatwo zauważyć, że funkcja ta posiada następującą własność:
- [10].
Aby zakończyć dowód, wystarczy sprawdzić, czy funkcja spełnia aksjomatykę przestrzeni afinicznej.
Rzeczywiście, korzystając z tego, że dostaniemy
co oznacza, że spełnia I aksjomat przestrzeni afinicznej[10]..
Z kolei jeśli , to na mocy lematu[7] otrzymujemy . A stąd
- .
Czyli funkcja spełnia III aksjomat przestrzeni afinicznej[10].
Równoległość rozmaitości
Dwie rozmaitości liniowe danej przestrzeni afinicznej nazywa się równoległymi, jeśli mają tę samą przestrzeń kierunkową[11].
Relacja równoległości jest relacją równoważności.
Każde dwie rozmaitości równoległe są równe lub rozłączne[12].
W niektórych źródłach[13] dodatkowo żąda się, by rozmaitości równoległe nie posiadały punktów wspólnych. Tak rozumiana równoległość nie będzie jednak równoważnością, a każde dwie rozmaitości równoległe będą rozłączne.
Uwaga
Niektórzy autorzy przyjmują ogólniejszą definicję[14]:
Rozmaitość liniowa jest równoległa do rozmaitości liniowej , gdy jest podprzestrzenią przestrzeni wektorowej tzn., gdy .
Ta ogólniejsza definicja obejmuje np. przypadek równoległości prostej do płaszczyzny[15].
Tak zdefiniowana równoległość nie jest relacją symetryczną, jest jedynie zwrotna i przechodnia[16].
W niektórych żródłach[17] tę ogólniejszą niesymetryczną równoległość określa się równoległością, a zdefiniowaną wyżej ścisłą równoległością.
- ↑ a b Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s.227, Definicja 12.8
- ↑ a b Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s.227, Twierdzenie 12.7
- ↑ a b Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s.227
- ↑ Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s.227, Przykład 1)
- ↑ Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s.227, Przykład 2)
- ↑ Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s.228, Przykład 3)
- ↑ a b Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s.228, Twierdzenie 12.8
- ↑ Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s.228, Twierdzenie 12.8 - Dowód
- ↑ Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s.228, Twierdzenie 12.9
- ↑ a b c Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s.228, Twierdzenie 12.9 - Dowód
- ↑ Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s.228, Definicja 12.9
- ↑ Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s.228, Twierdzenie 12.10
- ↑ Np. R.I. Tyszkiewicz, A.S.Fiedienko, Liniejnaja ałgiebra i analiticzieskaja gieometrija, Minsk 1976
- ↑ Np. Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową (Jefimow, Rozendorn)
- ↑ Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s.228, Twierdzenie 12.10 (1)
- ↑ N. Jefimow, E. Rozendorn, Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową, wyd. II, Warszawa, 1976
- ↑ K. Borsuk, Geometria analityczna wielowymiarowa, wyd. V, Warszawa 1976