Rozmaitość liniowa: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
m Dodaję nagłówek przed Szablon:Przypisy |
|||
Linia 1: | Linia 1: | ||
'''Rozmaitość liniowa''' – [[zbiór]] [[punkt (geometria)|punktów]] [[przestrzeń afiniczna|przestrzeni afinicznej]] <math>\mathfrak{U}</math> rozpiętej nad [[przestrzeń liniowa|przestrzenią wektorową]] <math>\mathbb{V}</math> zdefiniowany następująco |
'''Rozmaitość liniowa''' – [[zbiór]] [[punkt (geometria)|punktów]] [[przestrzeń afiniczna|przestrzeni afinicznej]] <math>\mathfrak{U}</math> rozpiętej nad [[przestrzeń liniowa|przestrzenią wektorową]] <math>\mathbb{V}</math> zdefiniowany następująco |
||
: <math>M_0+\mathbb{W}:=\{ M_0 + w : w\in\mathbb{W} |
: <math>M_0+\mathbb{W}:=\{ M_0 + w : w\in\mathbb{W}\},</math> |
||
dla pewnego punktu <math>M_0\in \mathfrak{U}</math> i pewnej [[podprzestrzeń liniowa|podprzestrzeni wektorowej]] <math>\mathbb{W}< \mathbb{V}</math><ref name=definicja>[[Bolesław Gleichgewicht]], ''Algebra'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, {{ISBN|978-83-89020-35-2}}; '''s. 227, Definicja 12.8'''.</ref>. |
dla pewnego punktu <math>M_0\in \mathfrak{U}</math> i pewnej [[podprzestrzeń liniowa|podprzestrzeni wektorowej]] <math>\mathbb{W}< \mathbb{V}</math><ref name=definicja>[[Bolesław Gleichgewicht]], ''Algebra'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, {{ISBN|978-83-89020-35-2}}; '''s. 227, Definicja 12.8'''.</ref>. |
||
Linia 14: | Linia 14: | ||
'''Wymiarem rozmaitości''' nazywa się wymiar jej przestrzeni kierunkowej. |
'''Wymiarem rozmaitości''' nazywa się wymiar jej przestrzeni kierunkowej. |
||
Jeśli więc przestrzeń kierunkowa rozmaitości ma [[wymiar (matematyka)#Wymiar przestrzeni liniowej|wymiar]] |
Jeśli więc przestrzeń kierunkowa rozmaitości ma [[wymiar (matematyka)#Wymiar przestrzeni liniowej|wymiar]] <math>m,</math> to o rozmaitości mówi się '''Rozmaitość liniowa <math>m</math>-wymiarowa'''<ref name=wymiary>[[Bolesław Gleichgewicht]], ''Algebra'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, {{ISBN|978-83-89020-35-2}}; '''s. 227'''.</ref>. |
||
Rozmaitość z przestrzenią kierunkową <math>\mathbb{W}</math> |
Rozmaitość z przestrzenią kierunkową <math>\mathbb{W},</math> dla której |
||
* <math>\dim\mathbb{W}=1</math> nazywa się ''[[prosta|prostą]]'' |
* <math>\dim\mathbb{W}=1</math> nazywa się ''[[prosta|prostą]]'', |
||
* <math>\dim\mathbb{W}=2</math> nazywa się ''[[płaszczyzna|płaszczyzną]]'' |
* <math>\dim\mathbb{W}=2</math> nazywa się ''[[płaszczyzna|płaszczyzną]]'', |
||
* <math>\dim\mathbb{W}=\dim\mathbb{V}-1</math> nazywa się ''[[hiperpłaszczyzna|hiperpłaszczyzną]]<ref name=wymiary />'' |
* <math>\dim\mathbb{W}=\dim\mathbb{V}-1</math> nazywa się ''[[hiperpłaszczyzna|hiperpłaszczyzną]]<ref name=wymiary />''. |
||
== Przykłady rozmaitości liniowych == |
== Przykłady rozmaitości liniowych == |
||
Linia 26: | Linia 26: | ||
: Przestrzeń afiniczna jest rozmaitością liniową, której przestrzeń kierunkową stanowi przestrzeń wektorowa, nad którą rozpięta jest przestrzeń afiniczna, a punktem początkowym – dowolny punkt tej przestrzeni afinicznej<ref>[[Bolesław Gleichgewicht]], ''Algebra'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, {{ISBN|978-83-89020-35-2}}; '''s. 227, Przykład 1)'''.</ref>; |
: Przestrzeń afiniczna jest rozmaitością liniową, której przestrzeń kierunkową stanowi przestrzeń wektorowa, nad którą rozpięta jest przestrzeń afiniczna, a punktem początkowym – dowolny punkt tej przestrzeni afinicznej<ref>[[Bolesław Gleichgewicht]], ''Algebra'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, {{ISBN|978-83-89020-35-2}}; '''s. 227, Przykład 1)'''.</ref>; |
||
* ''rozmaitość zerowymiarowa'': |
* ''rozmaitość zerowymiarowa'': |
||
: Jeśli <math>M_0\in\mathfrak{U}</math> |
: Jeśli <math>M_0\in\mathfrak{U},</math> to rozmaitość <math>M_0+\{0\}=\{M_0\}.</math> Zatem rozmaitość jest zerowymiarowa wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednopunktowa<ref>[[Bolesław Gleichgewicht]], ''Algebra'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, {{ISBN|978-83-89020-35-2}}; '''s. 227, Przykład 2)'''.</ref> |
||
[[Plik:Af.png|thumb|Proste równoległe]] |
[[Plik:Af.png|thumb|Proste równoległe]] |
||
* ''proste [[równoległość|równoległe]]'': |
* ''proste [[równoległość|równoległe]]'': |
||
: Niech <math>\mathfrak{U}</math> będzie [[układ współrzędnych kartezjańskich|płaszczyzną kartezjańską]]. Rozpatrzmy przestrzeń afiniczną <math>\mathfrak{U}</math> rozpiętą nad <math>\mathbb{R}^2</math> |
: Niech <math>\mathfrak{U}</math> będzie [[układ współrzędnych kartezjańskich|płaszczyzną kartezjańską]]. Rozpatrzmy przestrzeń afiniczną <math>\mathfrak{U}</math> rozpiętą nad <math>\mathbb{R}^2.</math> Niech <math>\mathbb{W}</math> będzie jednowymiarową podprzestrzenią przestrzeni liniowej <math>\mathbb{R}^2.</math> Niech <math>M_0</math> będzie punktem płaszczyzny <math>\mathfrak{U}.</math> Wtedy <math>M_0+\mathbb{W}</math> to prosta równoległa do prostej <math>0+\mathbb{W},</math> gdzie <math>0</math> to początek układu współrzędnych<ref>[[Bolesław Gleichgewicht]], ''Algebra'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, {{ISBN|978-83-89020-35-2}}; '''s. 228, Przykład 3)'''.</ref> (patrz: rysunek obok). |
||
== Rozmaitości liniowe a przestrzenie afiniczne == |
== Rozmaitości liniowe a przestrzenie afiniczne == |
||
Linia 36: | Linia 36: | ||
==== Dowód lematu ==== |
==== Dowód lematu ==== |
||
Jeśli <math>M\in M_0+\mathbb{W}</math> |
Jeśli <math>M\in M_0+\mathbb{W},</math> to <math>M_0+\mathbb{W}=M+\mathbb{W}.</math> Zatem <math>N\in M+\mathbb{W}</math> i istnieje taki wektor <math>\mathfrak{m}\in\mathbb{W},</math> dla którego <math>N=M+\mathfrak{m}.</math> Stąd wynika, że <math>\overrightarrow{MN}=\mathfrak{m}\in\mathbb{W}</math><ref>[[Bolesław Gleichgewicht]], ''Algebra'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, {{ISBN|978-83-89020-35-2}}; '''s. 228, Twierdzenie 12.8 – Dowód'''.</ref>. |
||
=== Twierdzenie === |
=== Twierdzenie === |
||
Linia 42: | Linia 42: | ||
==== Dowód twierdzenia ==== |
==== Dowód twierdzenia ==== |
||
Jeśli <math>M\in M_0+\mathbb{W}</math> |
Jeśli <math>M\in M_0+\mathbb{W},</math> to <math>M+\mathbb{W}=M_0+\mathbb{W}.</math> Stąd: |
||
: <math>\forall_{\mathfrak{v}\in\mathbb{W}}\forall_{M\in M_0+\mathbb{W}} M+\mathfrak{v}\in M_0+\mathbb{W}</math> |
: <math>\forall_{\mathfrak{v}\in\mathbb{W}}\forall_{M\in M_0+\mathbb{W}} M+\mathfrak{v}\in M_0+\mathbb{W}.</math> |
||
Rozważmy funkcję <math>\mathfrak{f}\colon\mathfrak{U}\times\mathbb{V}\to\mathfrak{U}</math> taką, że: |
Rozważmy funkcję <math>\mathfrak{f}\colon\mathfrak{U}\times\mathbb{V}\to\mathfrak{U}</math> taką, że: |
||
: <math>\mathfrak{f}\colon (N,x)\mapsto N+x</math> |
: <math>\mathfrak{f}\colon (N,x)\mapsto N+x.</math> |
||
Łatwo zauważyć, że funkcja ta posiada następującą własność: |
Łatwo zauważyć, że funkcja ta posiada następującą własność: |
||
: <math>\mathfrak{f}\colon (M_0+\mathbb{W})\times\mathbb{W}\to M_0+\mathbb{W}</math><ref name=proof>[[Bolesław Gleichgewicht]], ''Algebra'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, {{ISBN|978-83-89020-35-2}}; '''s. 228, Twierdzenie 12.9 – Dowód'''.</ref>. |
: <math>\mathfrak{f}\colon (M_0+\mathbb{W})\times\mathbb{W}\to M_0+\mathbb{W}</math><ref name=proof>[[Bolesław Gleichgewicht]], ''Algebra'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, {{ISBN|978-83-89020-35-2}}; '''s. 228, Twierdzenie 12.9 – Dowód'''.</ref>. |
||
Linia 55: | Linia 55: | ||
co oznacza, że <math>\mathfrak{f}</math> spełnia I aksjomat [[przestrzeń afiniczna#definicja|przestrzeni afinicznej]]<ref name=proof />. |
co oznacza, że <math>\mathfrak{f}</math> spełnia I aksjomat [[przestrzeń afiniczna#definicja|przestrzeni afinicznej]]<ref name=proof />. |
||
Z kolei jeśli <math>N,P\in M_0+\mathbb{W}</math> |
Z kolei jeśli <math>N,P\in M_0+\mathbb{W},</math> to na mocy lematu<ref name=lemat /> otrzymujemy <math>\overrightarrow{NP}\in\mathbb{W}.</math> A stąd |
||
: <math>\mathfrak{f}(N,\overrightarrow{NP})= N+\overrightarrow{NP}=P</math> |
: <math>\mathfrak{f}(N,\overrightarrow{NP})= N+\overrightarrow{NP}=P.</math> |
||
Czyli funkcja <math>\mathfrak{f}</math> spełnia III aksjomat [[przestrzeń afiniczna#definicja|przestrzeni afinicznej]]<ref name=proof />. |
Czyli funkcja <math>\mathfrak{f}</math> spełnia III aksjomat [[przestrzeń afiniczna#definicja|przestrzeni afinicznej]]<ref name=proof />. |
||
Linia 71: | Linia 72: | ||
Niektórzy autorzy przyjmują ogólniejszą definicję<ref>Np. ''Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową'' (Jefimow, Rozendorn).</ref>: |
Niektórzy autorzy przyjmują ogólniejszą definicję<ref>Np. ''Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową'' (Jefimow, Rozendorn).</ref>: |
||
Rozmaitość liniowa <math>M_0+\mathbb{W}</math> jest '''równoległa''' do rozmaitości liniowej <math>N_0+\mathbb{T}</math> |
Rozmaitość liniowa <math>M_0+\mathbb{W}</math> jest '''równoległa''' do rozmaitości liniowej <math>N_0+\mathbb{T},</math> gdy <math>\mathbb{W}</math> jest podprzestrzenią przestrzeni wektorowej <math>\mathbb{T},</math> tzn. gdy <math>\mathbb{W}<\mathbb{T}.</math> |
||
Ta ogólniejsza definicja obejmuje np. przypadek równoległości prostej do płaszczyzny<ref name=kom>[[Bolesław Gleichgewicht]], ''Algebra'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, {{ISBN|978-83-89020-35-2}}; '''s. 228, Twierdzenie 12.10 (1)'''.</ref>. |
Ta ogólniejsza definicja obejmuje np. przypadek równoległości prostej do płaszczyzny<ref name=kom>[[Bolesław Gleichgewicht]], ''Algebra'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, {{ISBN|978-83-89020-35-2}}; '''s. 228, Twierdzenie 12.10 (1)'''.</ref>. |
||
Tak zdefiniowana równoległość nie jest relacją symetryczną, jest jedynie zwrotna i przechodnia<ref>[[:en:Nikolai Efimov|N. Jefimow]], E. Rozendorn, ''Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową'', wyd. II, Warszawa |
Tak zdefiniowana równoległość nie jest relacją symetryczną, jest jedynie zwrotna i przechodnia<ref>[[:en:Nikolai Efimov|N. Jefimow]], E. Rozendorn, ''Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową'', wyd. II, Warszawa 1976.</ref>. |
||
W niektórych żródłach<ref>[[Karol Borsuk|K. Borsuk]], ''Geometria analityczna wielowymiarowa'', wyd. V, Warszawa 1976.</ref> tę ogólniejszą niesymetryczną równoległość określa się ''równoległością'', a zdefiniowaną wyżej ''ścisłą równoległością''. |
W niektórych żródłach<ref>[[Karol Borsuk|K. Borsuk]], ''Geometria analityczna wielowymiarowa'', wyd. V, Warszawa 1976.</ref> tę ogólniejszą niesymetryczną równoległość określa się ''równoległością'', a zdefiniowaną wyżej ''ścisłą równoległością''. |
Wersja z 18:01, 23 maj 2019
Rozmaitość liniowa – zbiór punktów przestrzeni afinicznej rozpiętej nad przestrzenią wektorową zdefiniowany następująco
dla pewnego punktu i pewnej podprzestrzeni wektorowej [1].
Punkt nazywany jest punktem początkowym rozmaitości liniowej, a podprzestrzeń wektorowa nazywana jest przestrzenią kierunkową rozmaitości[1].
Własności:
- Każdy punkt danej rozmaitości liniowej można przyjąć za jej punkt początkowy[2].
- Przestrzeń kierunkowa danej rozmaitości jest wyznaczona jednoznacznie[2].
Wymiar rozmaitości
Wymiarem rozmaitości nazywa się wymiar jej przestrzeni kierunkowej.
Jeśli więc przestrzeń kierunkowa rozmaitości ma wymiar to o rozmaitości mówi się Rozmaitość liniowa -wymiarowa[3].
Rozmaitość z przestrzenią kierunkową dla której
- nazywa się prostą,
- nazywa się płaszczyzną,
- nazywa się hiperpłaszczyzną[3].
Przykłady rozmaitości liniowych
Przykłady rozmaitości liniowych:
- Przestrzeń afiniczna jest rozmaitością liniową, której przestrzeń kierunkową stanowi przestrzeń wektorowa, nad którą rozpięta jest przestrzeń afiniczna, a punktem początkowym – dowolny punkt tej przestrzeni afinicznej[4];
- rozmaitość zerowymiarowa:
- Jeśli to rozmaitość Zatem rozmaitość jest zerowymiarowa wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednopunktowa[5]
- proste równoległe:
- Niech będzie płaszczyzną kartezjańską. Rozpatrzmy przestrzeń afiniczną rozpiętą nad Niech będzie jednowymiarową podprzestrzenią przestrzeni liniowej Niech będzie punktem płaszczyzny Wtedy to prosta równoległa do prostej gdzie to początek układu współrzędnych[6] (patrz: rysunek obok).
Rozmaitości liniowe a przestrzenie afiniczne
Lemat
Dowód lematu
Jeśli to Zatem i istnieje taki wektor dla którego Stąd wynika, że [8].
Twierdzenie
Rozmaitość liniowa przestrzeni afinicznej rozpiętej nad przestrzenią wektorową jest przestrzenią afiniczną związaną z przestrzenią liniową [9].
Dowód twierdzenia
Jeśli to Stąd:
Rozważmy funkcję taką, że:
Łatwo zauważyć, że funkcja ta posiada następującą własność:
- [10].
Aby zakończyć dowód, wystarczy sprawdzić, czy funkcja spełnia aksjomatykę przestrzeni afinicznej.
Rzeczywiście, korzystając z tego, że dostaniemy
co oznacza, że spełnia I aksjomat przestrzeni afinicznej[10].
Z kolei jeśli to na mocy lematu[7] otrzymujemy A stąd
Czyli funkcja spełnia III aksjomat przestrzeni afinicznej[10].
Równoległość rozmaitości
Dwie rozmaitości liniowe danej przestrzeni afinicznej nazywa się równoległymi, jeśli mają tę samą przestrzeń kierunkową[11].
Relacja równoległości jest relacją równoważności.
Każde dwie rozmaitości równoległe są równe lub rozłączne[12].
W niektórych źródłach[13] dodatkowo żąda się, by rozmaitości równoległe nie posiadały punktów wspólnych. Tak rozumiana równoległość nie będzie jednak równoważnością, a każde dwie rozmaitości równoległe będą rozłączne.
Uwaga
Niektórzy autorzy przyjmują ogólniejszą definicję[14]:
Rozmaitość liniowa jest równoległa do rozmaitości liniowej gdy jest podprzestrzenią przestrzeni wektorowej tzn. gdy
Ta ogólniejsza definicja obejmuje np. przypadek równoległości prostej do płaszczyzny[15].
Tak zdefiniowana równoległość nie jest relacją symetryczną, jest jedynie zwrotna i przechodnia[16].
W niektórych żródłach[17] tę ogólniejszą niesymetryczną równoległość określa się równoległością, a zdefiniowaną wyżej ścisłą równoległością.
Przypisy
- ↑ a b Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 227, Definicja 12.8.
- ↑ a b Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 227, Twierdzenie 12.7.
- ↑ a b Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 227.
- ↑ Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 227, Przykład 1).
- ↑ Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 227, Przykład 2).
- ↑ Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 228, Przykład 3).
- ↑ a b Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 228, Twierdzenie 12.8.
- ↑ Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 228, Twierdzenie 12.8 – Dowód.
- ↑ Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 228, Twierdzenie 12.9.
- ↑ a b c Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 228, Twierdzenie 12.9 – Dowód.
- ↑ Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 228, Definicja 12.9.
- ↑ Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 228, Twierdzenie 12.10.
- ↑ Np. R.I. Tyszkiewicz, A.S. Fiedienko, Liniejnaja ałgiebra i analiticzieskaja gieometrija, Minsk 1976.
- ↑ Np. Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową (Jefimow, Rozendorn).
- ↑ Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 228, Twierdzenie 12.10 (1).
- ↑ N. Jefimow, E. Rozendorn, Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową, wyd. II, Warszawa 1976.
- ↑ K. Borsuk, Geometria analityczna wielowymiarowa, wyd. V, Warszawa 1976.