Linia 4:
Linia 4:
{{osobny artykuł|jedynka trygonometryczna}}
{{osobny artykuł|jedynka trygonometryczna}}
Wzór
Wzór
: <math>\sin^2 x + \cos^2 x = 1,</math>
: <math qid="Q191" >\sin^2 x + \cos^2 x = 11 </math>
jest prawdziwy dla dowolnej liczby rzeczywistej (a nawet zespolonej, przy przyjęciu ogólniejszych definicji). Tożsamość ta uznawana jest za podstawową tożsamość trygonometryczną. Zwana często '''jedynką trygonometryczną''' bądź '''trygonometrycznym twierdzeniem Pitagorasa'''.
jest prawdziwy dla dowolnej liczby rzeczywistej (a nawet zespolonej, przy przyjęciu ogólniejszych definicji). Tożsamość ta uznawana jest za podstawową tożsamość trygonometryczną. Zwana często '''jedynką trygonometryczną''' bądź '''trygonometrycznym twierdzeniem Pitagorasa'''.
Tożsamości trygonometryczne – podstawowe zależności pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi .
Tożsamości pitagorejskie
Wzór
sin
2
x
+
cos
2
x
=
11
{\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=11}
jest prawdziwy dla dowolnej liczby rzeczywistej (a nawet zespolonej, przy przyjęciu ogólniejszych definicji). Tożsamość ta uznawana jest za podstawową tożsamość trygonometryczną. Zwana często jedynką trygonometryczną bądź trygonometrycznym twierdzeniem Pitagorasa .
Istnieją również dwie inne wariacje tego wzoru:
sec
2
x
−
tg
2
x
=
1
{\displaystyle \sec ^{2}x-\operatorname {tg} ^{2}\ x=1}
cosec
2
x
−
ctg
2
x
=
1
{\displaystyle \operatorname {cosec} ^{2}x-\operatorname {ctg} ^{2}\ x=1}
Okresowość funkcji
Funkcje trygonometryczne są okresowe
(
k
∈
Z
)
:
{\displaystyle (k\in \mathbb {Z} ){:}}
sin
x
=
sin
(
x
+
2
k
π
)
tg
x
=
tg
(
x
+
k
π
)
cos
x
=
cos
(
x
+
2
k
π
)
ctg
x
=
ctg
(
x
+
k
π
)
{\displaystyle {\begin{array}{l}\sin x=\sin(x+2k\pi )&\operatorname {tg} x=\operatorname {tg} (x+k\pi )\\\cos x=\cos(x+2k\pi )&\operatorname {ctg} x=\operatorname {ctg} (x+k\pi )\end{array}}}
Definicje tangensa i cotangensa
tg
x
=
sin
x
cos
x
,
dla
x
≠
π
2
+
k
π
,
gdzie k
∈
Z
{\displaystyle \operatorname {tg} x={\frac {\sin x}{\cos x}},\quad {\text{dla }}x\neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi ,\quad {\text{gdzie k}}\in \mathbb {Z} }
ctg
x
=
cos
x
sin
x
,
dla
x
≠
k
π
,
gdzie k
∈
Z
{\displaystyle \operatorname {ctg} x={\frac {\cos x}{\sin x}},\quad {\text{dla }}x\neq k\pi ,\quad {\text{gdzie k}}\in \mathbb {Z} }
lim
x
→
x
0
±
ctg
x
=
lim
x
→
x
0
±
1
tg
x
,
dla
x
0
∈
R
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{\pm }}~{\operatorname {ctg} x}=\lim _{x\to x_{0}^{\pm }}~{\frac {1}{\operatorname {tg} x}},\quad {\text{dla }}x_{0}\in \mathbb {R} }
Przedstawienia przy pomocy funkcji cosinus
|
sin
x
|
=
1
−
cos
2
x
{\displaystyle |\sin x|={\sqrt {1-\cos ^{2}x}}}
|
tg
x
|
=
|
sin
x
|
|
cos
x
|
=
1
−
cos
2
x
|
cos
x
|
{\displaystyle |\operatorname {tg} x|={\frac {|\sin x|}{|\cos x|}}={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}x}}{|\cos x|}}}
|
ctg
x
|
=
|
cos
x
|
|
sin
x
|
=
|
cos
x
|
1
−
cos
2
x
{\displaystyle |\operatorname {ctg} x|={\frac {|\cos x|}{|\sin x|}}={\frac {|\cos x|}{\sqrt {1-\cos ^{2}x}}}}
Przedstawienia przy pomocy funkcji sinus
|
cos
x
|
=
1
−
sin
2
x
{\displaystyle |\cos x|={\sqrt {1-\sin ^{2}x}}}
|
tg
x
|
=
|
sin
x
|
|
cos
x
|
=
|
sin
x
|
1
−
sin
2
x
{\displaystyle |\operatorname {tg} x|={\frac {|\sin x|}{|\cos x|}}={\frac {|\sin x|}{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}}}
|
ctg
x
|
=
|
cos
x
|
|
sin
x
|
=
1
−
sin
2
x
|
sin
x
|
{\displaystyle |\operatorname {ctg} x|={\frac {|\cos x|}{|\sin x|}}={\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}x}}{|\sin x|}}}
Parzystość i nieparzystość funkcji trygonometrycznych
sin
(
−
x
)
=
−
sin
x
tg
(
−
x
)
=
−
tg
x
cos
(
−
x
)
=
cos
x
ctg
(
−
x
)
=
−
ctg
x
{\displaystyle {\begin{array}{l}\sin(-x)=-\sin x&\operatorname {tg} (-x)=-\operatorname {tg} x\\\cos(-x)=\cos x&\operatorname {ctg} (-x)=-\operatorname {ctg} x\end{array}}}
Zależności pomiędzy funkcjami a kofunkcjami
Równości
sin
x
=
cos
(
π
2
−
x
)
cos
x
=
sin
(
π
2
−
x
)
tg
x
=
ctg
(
π
2
−
x
)
ctg
x
=
tg
(
π
2
−
x
)
sec
x
=
cosec
(
π
2
−
x
)
cosec
x
=
sec
(
π
2
−
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&\sin x=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)&&\cos x=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)\\[.2em]&\operatorname {tg} x=\operatorname {ctg} \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)&&\operatorname {ctg} x=\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)\\[.2em]&\sec x=\operatorname {cosec} \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)&&\operatorname {cosec} x=\sec \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)\end{aligned}}}
nazywa się związkami pomiędzy funkcjami a ich kofunkcjami. Kofunkcją sinusa jest cosinus, cosinusa sinus, tangensa cotangens itd.
Odwrotności
Funkcje trygonometryczne można układać w pary według kofunkcji lub według odwrotności. Odwrotnością sinusa jest cosecans, cosinusa secans, tangensa cotangens (i oczywiście na odwrót):
sin
x
=
1
cosec
x
cosec
x
=
1
sin
x
cos
x
=
1
sec
x
sec
x
=
1
cos
x
tg
x
=
1
ctg
x
ctg
x
=
1
tg
x
{\displaystyle {\begin{aligned}&\sin x={\frac {1}{\operatorname {cosec} x}}&&\operatorname {cosec} x={\frac {1}{\sin x}}\\[.5em]&\cos x={\frac {1}{\sec x}}&&\sec x={\frac {1}{\cos x}}\\[.5em]&\operatorname {tg} x={\frac {1}{\operatorname {ctg} x}}&&\operatorname {ctg} x={\frac {1}{\operatorname {tg} x}}\end{aligned}}}
Funkcje sumy i różnicy kątów
sin
(
x
±
y
)
=
sin
x
⋅
cos
y
±
cos
x
⋅
sin
y
{\displaystyle \sin(x\pm y)=\sin x\cdot \cos y\pm \cos x\cdot \sin y}
Sinus i cosinus sumy kątów
cos
(
x
±
y
)
=
cos
x
cos
y
∓
sin
x
sin
y
{\displaystyle \cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y}
Sinus i cosinus różnicy kątów
tg
(
x
±
y
)
=
tg
x
±
tg
y
1
∓
tg
x
tg
y
{\displaystyle \operatorname {tg} (x\pm y)={\frac {\operatorname {tg} x\pm \operatorname {tg} y}{1\mp \operatorname {tg} x\operatorname {tg} y}}}
Tangens sumy kątów
Tangens różnicy kątów
Cotangens sumy kątów
ctg
(
x
±
y
)
=
ctg
x
⋅
ctg
y
∓
1
ctg
y
±
ctg
x
{\displaystyle \operatorname {ctg} (x\pm y)={\frac {\operatorname {ctg} x\cdot \operatorname {ctg} y\mp 1}{\operatorname {ctg} y\pm \operatorname {ctg} x}}}
Cotangens różnicy kątów
Dowód
Na mocy wzoru Eulera :
e
x
i
=
cos
x
+
i
sin
x
{\displaystyle e^{xi}=\cos x+i\sin x}
oraz
e
y
i
=
cos
y
+
i
sin
y
{\displaystyle e^{yi}=\cos y+i\sin y}
wymnożenie obu równości stronami daje:
e
i
(
x
+
y
)
=
cos
x
⋅
cos
y
−
sin
x
⋅
sin
y
+
i
(
sin
x
cos
y
+
cos
x
sin
y
)
.
{\displaystyle e^{i\left(x+y\right)}=\cos x\cdot \cos y-\sin x\cdot \sin y+i\left(\sin x\cos y+\cos x\sin y\right).}
Z drugiej strony, znów na mocy wzoru Eulera:
e
i
(
x
+
y
)
=
cos
(
x
+
y
)
+
i
sin
(
x
+
y
)
.
{\displaystyle e^{i\left(x+y\right)}=\cos(x+y)+i\sin(x+y).}
Porównanie części rzeczywistych i urojonych odpowiednich stron daje dwa pierwsze wzory. Dwa kolejne wynikają z poprzednich, jeżeli wyrazić
tg
{\displaystyle \operatorname {tg} }
i
ctg
{\displaystyle \operatorname {ctg} }
przez
sin
{\displaystyle \sin }
i
cos
.
{\displaystyle \cos .}
Funkcje wielokrotności kątów
Wzory na dwukrotność kąta otrzymuje się przez podstawienie
y
=
x
{\displaystyle y=x}
we wzorach na funkcje sumy kątów.
sin
2
x
=
2
sin
x
cos
x
{\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cos x}
cos
2
x
=
cos
2
x
−
sin
2
x
=
1
−
2
sin
2
x
=
2
cos
2
x
−
1
{\displaystyle \cos 2x=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=1-2\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1}
tg
2
x
=
2
tg
x
1
−
tg
2
x
{\displaystyle \operatorname {tg} 2x={\frac {2\operatorname {tg} x}{1-\operatorname {tg} ^{2}\ x}}}
ctg
2
x
=
ctg
x
−
tg
x
2
=
ctg
2
x
−
1
2
ctg
x
{\displaystyle \operatorname {ctg} 2x={\frac {\operatorname {ctg} x-\operatorname {tg} x}{2}}={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\ x-1}{2\operatorname {ctg} x}}}
sin
3
x
=
3
sin
x
−
4
sin
3
x
{\displaystyle \sin 3x=3\sin x-4\sin ^{3}x}
cos
3
x
=
4
cos
3
x
−
3
cos
x
{\displaystyle \cos 3x=4\cos ^{3}x-3\cos x}
tg
3
x
=
3
tg
x
−
tg
3
x
1
−
3
tg
2
x
{\displaystyle \operatorname {tg} 3x={\frac {3\operatorname {tg} x-\operatorname {tg} ^{3}\ x}{1-3\operatorname {tg} ^{2}\ x}}}
ctg
3
x
=
ctg
3
x
−
3
ctg
x
3
ctg
2
x
−
1
{\displaystyle \operatorname {ctg} 3x={\frac {\operatorname {ctg} ^{3}\ x-3\operatorname {ctg} x}{3\operatorname {ctg} ^{2}\ x-1}}}
sin
4
x
=
8
cos
3
x
sin
x
−
4
cos
x
sin
x
=
4
cos
3
x
sin
x
−
4
cos
x
sin
3
x
{\displaystyle \sin 4x=8\cos ^{3}x\sin x-4\cos x\sin x=4\cos ^{3}x\sin x-4\cos x\sin ^{3}x}
cos
4
x
=
8
cos
4
x
−
8
cos
2
x
+
1
=
8
sin
4
x
−
8
sin
2
x
+
1
=
cos
4
x
−
6
cos
2
x
sin
2
x
+
sin
4
x
{\displaystyle \cos 4x=8\cos ^{4}x-8\cos ^{2}x+1=8\sin ^{4}x-8\sin ^{2}x+1=\cos ^{4}x-6\cos ^{2}x\sin ^{2}x+\sin ^{4}x}
tg
4
x
=
4
tg
x
−
4
tg
3
x
1
−
6
tg
2
x
+
tg
4
x
{\displaystyle \operatorname {tg} 4x={\frac {4\operatorname {tg} x-4\operatorname {tg} ^{3}\ x}{1-6\operatorname {tg} ^{2}\ x+\operatorname {tg} ^{4}\ x}}}
ctg
4
x
=
ctg
4
x
−
6
ctg
2
x
+
1
4
ctg
3
x
−
4
ctg
x
{\displaystyle \operatorname {ctg} 4x={\frac {\operatorname {ctg} ^{4}\ x-6\operatorname {ctg} ^{2}\ x+1}{4\operatorname {ctg} ^{3}\ x-4\operatorname {ctg} x}}}
Ogólnie:
sin
n
x
=
∑
i
=
0
∞
(
−
1
)
i
⋅
(
n
2
i
+
1
)
cos
n
−
2
i
−
1
x
sin
2
i
+
1
x
=
∑
i
=
0
⌊
n
2
⌋
(
−
1
)
i
⋅
(
n
2
i
+
1
)
cos
n
−
2
i
−
1
x
sin
2
i
+
1
x
=
n
cos
n
−
1
x
sin
x
−
(
n
3
)
cos
n
−
3
x
sin
3
x
+
(
n
5
)
cos
n
−
5
x
sin
5
x
−
(
n
7
)
cos
n
−
7
x
sin
7
x
+
…
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin nx&=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\cdot {n \choose 2i+1}\cos ^{n-2i-1}x\sin ^{2i+1}x\\[2pt]&=\sum _{i=0}^{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor }(-1)^{i}\cdot {n \choose 2i+1}\cos ^{n-2i-1}x\sin ^{2i+1}x\\&=n\cos ^{n-1}x\sin x-{n \choose 3}\cos ^{n-3}x\sin ^{3}x+{n \choose 5}\cos ^{n-5}x\sin ^{5}x-{n \choose 7}\cos ^{n-7}x\sin ^{7}x+\dots \end{aligned}}}
cos
n
x
=
∑
i
=
0
∞
(
−
1
)
i
⋅
(
n
2
i
)
cos
n
−
2
i
x
sin
2
i
x
=
∑
i
=
0
⌊
n
2
⌋
(
−
1
)
i
⋅
(
n
2
i
)
cos
n
−
2
i
x
sin
2
i
x
=
cos
n
x
−
(
n
2
)
cos
n
−
2
x
sin
2
x
+
(
n
4
)
cos
n
−
4
x
sin
4
x
−
(
n
6
)
cos
n
−
6
x
sin
6
x
+
…
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos nx&=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\cdot {n \choose 2i}\cos ^{n-2i}x\sin ^{2i}x\\[2pt]&=\sum _{i=0}^{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor }(-1)^{i}\cdot {n \choose 2i}\cos ^{n-2i}x\sin ^{2i}x\\&=\cos ^{n}x-{n \choose 2}\cos ^{n-2}x\sin ^{2}x+{n \choose 4}\cos ^{n-4}x\sin ^{4}x-{n \choose 6}\cos ^{n-6}x\sin ^{6}x+\dots \end{aligned}}}
tg
n
x
=
∑
i
=
0
⌊
n
2
⌋
(
n
2
i
+
1
)
tg
2
i
+
1
x
⋅
(
−
1
)
i
⋅
(
∑
i
=
0
⌊
n
2
⌋
(
n
2
i
)
tg
2
i
x
⋅
(
−
1
)
i
)
−
1
{\displaystyle \operatorname {tg} nx=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{n \choose 2i+1}\operatorname {tg} ^{2i+1}x\cdot (-1)^{i}\cdot \left(\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{n \choose 2i}\operatorname {tg} ^{2i}x\cdot (-1)^{i}\right)^{-1}}
Funkcje kąta połówkowego
|
sin
1
2
x
|
=
1
−
cos
x
2
{\displaystyle \left|\sin {\frac {1}{2}}x\right|={\sqrt {\frac {1-\cos x}{2}}}}
|
cos
1
2
x
|
=
1
+
cos
x
2
{\displaystyle \left|\cos {\frac {1}{2}}x\right|={\sqrt {\frac {1+\cos x}{2}}}}
|
tg
1
2
x
|
=
1
−
cos
x
1
+
cos
x
{\displaystyle \left|\operatorname {tg} {\frac {1}{2}}x\right|={\sqrt {\frac {1-\cos x}{1+\cos x}}}}
tg
1
2
x
=
1
−
cos
x
sin
x
=
sin
x
1
+
cos
x
{\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {1}{2}}x={\frac {1-\cos x}{\sin x}}={\frac {\sin x}{1+\cos x}}}
|
ctg
1
2
x
|
=
1
+
cos
x
1
−
cos
x
{\displaystyle \left|\operatorname {ctg} {\frac {1}{2}}x\right|={\sqrt {\frac {1+\cos x}{1-\cos x}}}}
ctg
1
2
x
=
1
+
cos
x
sin
x
=
sin
x
1
−
cos
x
{\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {1}{2}}x={\frac {1+\cos x}{\sin x}}={\frac {\sin x}{1-\cos x}}}
Suma i różnica funkcji
sin
x
±
sin
y
=
2
sin
x
±
y
2
⋅
cos
x
∓
y
2
{\displaystyle \sin x\pm \sin y=2\sin {\frac {x\pm y}{2}}\cdot \cos {\frac {x\mp y}{2}}}
cos
x
+
cos
y
=
2
cos
x
+
y
2
⋅
cos
x
−
y
2
{\displaystyle \cos x+\cos y=2\cos {\frac {x+y}{2}}\cdot \cos {\frac {x-y}{2}}}
cos
x
−
cos
y
=
−
2
sin
x
+
y
2
⋅
sin
x
−
y
2
{\displaystyle \cos x-\cos y=-2\sin {\frac {x+y}{2}}\cdot \sin {\frac {x-y}{2}}}
tg
x
±
tg
y
=
sin
(
x
±
y
)
cos
x
cos
y
{\displaystyle \operatorname {tg} x\pm \operatorname {tg} y={\frac {\sin(x\pm y)}{\cos x\cos y}}}
tg
x
+
ctg
y
=
cos
(
x
−
y
)
cos
x
sin
y
{\displaystyle \operatorname {tg} x+\operatorname {ctg} y={\frac {\cos(x-y)}{\cos x\sin y}}}
ctg
x
±
ctg
y
=
sin
(
y
±
x
)
sin
x
sin
y
{\displaystyle \operatorname {ctg} x\pm \operatorname {ctg} y={\frac {\sin(y\pm x)}{\sin x\sin y}}}
ctg
x
−
tg
y
=
cos
(
x
+
y
)
sin
x
cos
y
{\displaystyle \operatorname {ctg} x-\operatorname {tg} y={\frac {\cos(x+y)}{\sin x\cos y}}}
1
−
cos
x
=
2
sin
2
x
2
{\displaystyle 1-\cos x=2\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}
1
+
cos
x
=
2
cos
2
x
2
{\displaystyle 1+\cos x=2\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}
1
−
sin
x
=
2
sin
2
(
1
4
π
−
1
2
x
)
=
2
cos
2
(
1
4
π
+
1
2
x
)
=
(
sin
x
2
−
cos
x
2
)
2
{\displaystyle 1-\sin x=2\sin ^{2}\left({\frac {1}{4}}\pi -{\frac {1}{2}}x\right)=2\cos ^{2}\left({\frac {1}{4}}\pi +{\frac {1}{2}}x\right)=\left(\sin {\frac {x}{2}}-\cos {\frac {x}{2}}\right)^{2}}
1
+
sin
x
=
2
cos
2
(
1
4
π
−
1
2
x
)
=
2
sin
2
(
1
4
π
+
1
2
x
)
=
(
sin
x
2
+
cos
x
2
)
2
{\displaystyle 1+\sin x=2\cos ^{2}\left({\frac {1}{4}}\pi -{\frac {1}{2}}x\right)=2\sin ^{2}\left({\frac {1}{4}}\pi +{\frac {1}{2}}x\right)=\left(\sin {\frac {x}{2}}+\cos {\frac {x}{2}}\right)^{2}}
Iloczyn w postaci sumy
cos
x
⋅
cos
y
=
cos
(
x
−
y
)
+
cos
(
x
+
y
)
2
{\displaystyle \cos x\cdot \cos y={\frac {\cos(x-y)+\cos(x+y)}{2}}}
sin
x
⋅
sin
y
=
cos
(
x
−
y
)
−
cos
(
x
+
y
)
2
{\displaystyle \sin x\cdot \sin y={\frac {\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2}}}
sin
x
⋅
cos
y
=
sin
(
x
−
y
)
+
sin
(
x
+
y
)
2
{\displaystyle \sin x\cdot \cos y={\frac {\sin(x-y)+\sin(x+y)}{2}}}
sin
x
⋅
sin
y
⋅
sin
z
=
sin
(
x
+
y
−
z
)
+
sin
(
y
+
z
−
x
)
+
sin
(
z
+
x
−
y
)
−
sin
(
x
+
y
+
z
)
4
{\displaystyle \sin x\cdot \sin y\cdot \sin z={\frac {\sin(x+y-z)+\sin(y+z-x)+\sin(z+x-y)-\sin(x+y+z)}{4}}}
sin
x
⋅
sin
y
⋅
cos
z
=
−
cos
(
x
+
y
−
z
)
+
cos
(
y
+
z
−
x
)
+
cos
(
z
+
x
−
y
)
−
cos
(
x
+
y
+
z
)
4
{\displaystyle \sin x\cdot \sin y\cdot \cos z={\frac {-\cos(x+y-z)+\cos(y+z-x)+\cos(z+x-y)-\cos(x+y+z)}{4}}}
sin
x
⋅
cos
y
⋅
cos
z
=
sin
(
x
+
y
−
z
)
−
sin
(
y
+
z
−
x
)
+
sin
(
z
+
x
−
y
)
+
sin
(
x
+
y
+
z
)
4
{\displaystyle \sin x\cdot \cos y\cdot \cos z={\frac {\sin(x+y-z)-\sin(y+z-x)+\sin(z+x-y)+\sin(x+y+z)}{4}}}
cos
x
⋅
cos
y
⋅
cos
z
=
cos
(
x
+
y
−
z
)
+
cos
(
y
+
z
−
x
)
+
cos
(
z
+
x
−
y
)
+
cos
(
x
+
y
+
z
)
4
{\displaystyle \cos x\cdot \cos y\cdot \cos z={\frac {\cos(x+y-z)+\cos(y+z-x)+\cos(z+x-y)+\cos(x+y+z)}{4}}}
Potęgi w postaci sumy
sin
2
x
=
1
−
cos
2
x
2
{\displaystyle \sin ^{2}x={\frac {1-\cos 2x}{2}}}
cos
2
x
=
1
+
cos
2
x
2
{\displaystyle \cos ^{2}x={\frac {1+\cos 2x}{2}}}
sin
2
x
cos
2
x
=
1
−
cos
4
x
8
=
sin
2
2
x
4
{\displaystyle \sin ^{2}x\cos ^{2}x={\frac {1-\cos 4x}{8}}={\frac {\sin ^{2}2x}{4}}}
sin
3
x
=
3
sin
x
−
sin
3
x
4
{\displaystyle \sin ^{3}x={\frac {3\sin x-\sin 3x}{4}}}
cos
3
x
=
3
cos
x
+
cos
3
x
4
{\displaystyle \cos ^{3}x={\frac {3\cos x+\cos 3x}{4}}}
sin
4
x
=
cos
4
x
−
4
cos
2
x
+
3
8
{\displaystyle \sin ^{4}x={\frac {\cos 4x-4\cos 2x+3}{8}}}
cos
4
x
=
cos
4
x
+
4
cos
2
x
+
3
8
{\displaystyle \cos ^{4}x={\frac {\cos 4x+4\cos 2x+3}{8}}}
sin
2
x
−
sin
2
y
=
sin
(
x
+
y
)
⋅
sin
(
x
−
y
)
{\displaystyle \sin ^{2}x-\sin ^{2}y=\sin(x+y)\cdot \sin(x-y)}
Funkcje trygonometryczne wyrażone przy pomocy tangensa połowy kąta
sin
x
=
2
tg
x
2
1
+
tg
2
x
2
{\displaystyle \sin x={\frac {2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}}}
cos
x
=
1
−
tg
2
x
2
1
+
tg
2
x
2
,
{\displaystyle \cos x={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}},}
tg
x
=
2
tg
x
2
1
−
tg
2
x
2
{\displaystyle \operatorname {tg} x={\frac {2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}{1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}}}
Powyższe tożsamości znalazły zastosowanie w tzw. podstawieniu uniwersalnym , stosowanym przy obliczaniu całek typu
∫
R
(
sin
x
,
cos
x
,
tg
x
)
d
x
,
{\displaystyle \int R(\sin x,\cos x,\operatorname {tg} x)dx,}
gdzie
R
(
u
,
v
,
w
)
{\displaystyle R(u,v,w)}
jest funkcją wymierną zmiennych
u
,
v
,
w
.
{\displaystyle u,v,w.}
Stosuje się podstawienie:
tg
x
2
=
t
{\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {x}{2}}=t}
x
=
2
arctg
t
+
2
k
π
{\displaystyle x=2\operatorname {arctg} \;t+2k\pi }
d
x
=
2
1
+
t
2
d
t
.
{\displaystyle dx={\frac {2}{1+t^{2}}}dt.}
Wzory Eulera
Osobny artykuł: Wzór Eulera .
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}
sin
x
=
e
i
x
−
e
−
i
x
2
i
{\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}
cos
x
=
e
i
x
+
e
−
i
x
2
{\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}}
tg
x
=
e
i
x
−
e
−
i
x
(
e
i
x
+
e
−
i
x
)
i
{\displaystyle \operatorname {tg} x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{(e^{ix}+e^{-ix})i}}}
ctg
x
=
e
i
x
+
e
−
i
x
e
i
x
−
e
−
i
x
i
{\displaystyle \operatorname {ctg} x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{e^{ix}-e^{-ix}}}i}
Wzory te pozwalają łatwo przekształcać wyrażenia trygonometryczne, poprzez przejście na postać zespoloną (cztery ostatnie wzory), uproszczenie i powrót na postać trygonometryczną (pierwszy wzór).
Inne zależności między funkcjami trygonometrycznymi
tg
x
+
sec
x
=
tg
(
x
2
+
π
4
)
.
{\displaystyle \operatorname {tg} x+\sec x=\operatorname {tg} \left({\frac {x}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right).}
Wzór de Moivre’a
cos
n
x
+
i
sin
n
x
=
(
cos
x
+
i
sin
x
)
n
n
∈
N
{\displaystyle \cos nx+i\sin nx=(\cos x+i\sin x)^{n}\qquad n\in \mathbb {N} }
lub ogólniej:
[
r
(
cos
x
+
i
sin
x
)
]
n
=
r
n
(
cos
n
x
+
i
sin
n
x
)
n
∈
N
{\displaystyle [r(\cos x+i\sin x)]^{n}=r^{n}(\cos nx+i\sin nx)\qquad n\in \mathbb {N} }
Zobacz też