Rozmaitość różniczkowa: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
m poprawa linków |
WP:SK, drobne techniczne |
||
Linia 1: | Linia 1: | ||
'''Rozmaitość różniczkowa''' – [[rozmaitość topologiczna]], której [[Parametryzacja (matematyka)|parametryzacje]] otwartych podzbiorów pokrywających w sumie całą rozmaitość są [[funkcja (matematyka)|funkcjami]] [[pochodna funkcji|klasy]] co najmniej <math>C^1</math> posiadającą [[przekształcenie liniowe|nieosobliwą]] [[różniczka|różniczkę]] w każdym punkcie [[dziedzina (matematyka)|dziedziny]]. Parametryzacje te tworzą atlas. Bez założenia wielości map w atlasie, wiele rozmaitości nie mogłoby być rozmaitościami różniczkowymi, np. kula, dla której nie istnieje globalna i gładka parametryzacja. |
'''Rozmaitość różniczkowa''' – [[rozmaitość topologiczna]], której [[Parametryzacja (matematyka)|parametryzacje]] otwartych podzbiorów pokrywających w sumie całą rozmaitość są [[funkcja (matematyka)|funkcjami]] [[pochodna funkcji|klasy]] co najmniej <math>C^1</math> posiadającą [[przekształcenie liniowe|nieosobliwą]] [[różniczka|różniczkę]] w każdym punkcie [[dziedzina (matematyka)|dziedziny]]. Parametryzacje te tworzą atlas. Bez założenia wielości map w atlasie, wiele rozmaitości nie mogłoby być rozmaitościami różniczkowymi, np. kula, dla której nie istnieje globalna i gładka parametryzacja. |
||
==Definicja== |
== Definicja == |
||
[[Zbiór]] <math>M \subseteq \mathbb R^N</math> jest '''rozmaitością różniczkową''' (klasy <math>C^1</math> i wymiaru <math>n</math>, <math>0\leq n\leq N</math>), gdy: |
[[Zbiór]] <math>M \subseteq \mathbb R^N</math> jest '''rozmaitością różniczkową''' (klasy <math>C^1</math> i wymiaru <math>n</math>, <math>0\leq n\leq N</math>), gdy: |
||
* <math>\forall_{p \in M}</math> istnieje w <math>\mathbb R^N</math> [[zbiór otwarty|otwarte]] [[otoczenie (matematyka)|otoczenie]] <math>U \ni p</math> oraz zbiór otwarty <math>V \subseteq \mathbb R^n</math> i |
* <math>\forall_{p \in M}</math> istnieje w <math>\mathbb R^N</math> [[zbiór otwarty|otwarte]] [[otoczenie (matematyka)|otoczenie]] <math>U \ni p</math> oraz zbiór otwarty <math>V \subseteq \mathbb R^n</math> i |
||
Linia 12: | Linia 12: | ||
Część autorów, w tym Andrzej Birkholc w swej "Analizie wielu zmiennych" homeomorfizm o powyższych własnościach nazywa '''uogólnionym dyfeomorfizmem''', czy też raczej po prostu [[dyfeomorfizm|'''dyfeomorfizmem''']] rozszerzejąc w ten sposób jego definicję. |
Część autorów, w tym Andrzej Birkholc w swej "Analizie wielu zmiennych" homeomorfizm o powyższych własnościach nazywa '''uogólnionym dyfeomorfizmem''', czy też raczej po prostu [[dyfeomorfizm|'''dyfeomorfizmem''']] rozszerzejąc w ten sposób jego definicję. |
||
==Klasy== |
== Klasy == |
||
W definicji można zażądać wyższej gładkości rozmaitości poprzez zastąpienie klasy <math>C^1</math> funkcji inną. '''Rozmaitością różniczkową klasy <math>C^r</math>''' nazywamy rozmaitość, której mapa jest funkcją klasy <math>C^r</math> dla <math>r \in \mathbb N^* \cup \{\infty\}</math>. [[Rozmaitość topologiczna]] jest rozmaitością różniczkową klasy <math>C^0</math>, z kolei '''rozmaitością analityczną''' nazywa się rozmaitość klasy <math>C^\omega</math>. |
W definicji można zażądać wyższej gładkości rozmaitości poprzez zastąpienie klasy <math>C^1</math> funkcji inną. '''Rozmaitością różniczkową klasy <math>C^r</math>''' nazywamy rozmaitość, której mapa jest funkcją klasy <math>C^r</math> dla <math>r \in \mathbb N^* \cup \{\infty\}</math>. [[Rozmaitość topologiczna]] jest rozmaitością różniczkową klasy <math>C^0</math>, z kolei '''rozmaitością analityczną''' nazywa się rozmaitość klasy <math>C^\omega</math>. |
||
==Zobacz też== |
== Zobacz też == |
||
* [[rozmaitość topologiczna]], |
* [[rozmaitość topologiczna]], |
||
* [[mapa (matematyka)|mapa]], |
* [[mapa (matematyka)|mapa]], |
||
* [[atlas (matematyka)|atlas]]. |
* [[atlas (matematyka)|atlas]]. |
||
[[Kategoria: |
[[Kategoria:Topologia]] |
||
[[Kategoria: |
[[Kategoria:Rachunek różniczkowy i całkowy]] |
||
[[Kategoria: |
[[Kategoria:Geometria]] |
||
[[de:Differenzierbare Mannigfaltigkeit]] |
[[de:Differenzierbare Mannigfaltigkeit]] |
Wersja z 12:42, 30 sie 2011
Rozmaitość różniczkowa – rozmaitość topologiczna, której parametryzacje otwartych podzbiorów pokrywających w sumie całą rozmaitość są funkcjami klasy co najmniej posiadającą nieosobliwą różniczkę w każdym punkcie dziedziny. Parametryzacje te tworzą atlas. Bez założenia wielości map w atlasie, wiele rozmaitości nie mogłoby być rozmaitościami różniczkowymi, np. kula, dla której nie istnieje globalna i gładka parametryzacja.
Definicja
Zbiór jest rozmaitością różniczkową (klasy i wymiaru , ), gdy:
- istnieje w otwarte otoczenie oraz zbiór otwarty i
- homeomorfizm taki, że
- odwzorowanie jest klasy i
- różniczka jest iniekcją dla każdego .
Funkcję nazywamy mapą rozmaitości, zaś jej parametryzacją.
Część autorów, w tym Andrzej Birkholc w swej "Analizie wielu zmiennych" homeomorfizm o powyższych własnościach nazywa uogólnionym dyfeomorfizmem, czy też raczej po prostu dyfeomorfizmem rozszerzejąc w ten sposób jego definicję.
Klasy
W definicji można zażądać wyższej gładkości rozmaitości poprzez zastąpienie klasy funkcji inną. Rozmaitością różniczkową klasy nazywamy rozmaitość, której mapa jest funkcją klasy dla . Rozmaitość topologiczna jest rozmaitością różniczkową klasy , z kolei rozmaitością analityczną nazywa się rozmaitość klasy .