Diagram przemienny

Diagram przemienny – diagram w matematyce, a szczególnie jej dziale nazywanym teorią kategorii, który składa się z obiektów (nazywanych również wierzchołkami) i morfizmów (znanych także jako strzałki lub krawędzie) takich, że wybranie skierowanej drogi w diagramie dla dowolnych dwóch obiektów prowadzi do tego samego wyniku przy składaniu. Diagramy przemienne odgrywają analogiczną rolę w teorii kategorii do równań w algebrze.

Przykłady

W następującym przykładzie przedstawiającym pierwsze twierdzenie o izomorfizmie przemienność oznacza, że $f={\tilde {f}}\circ \pi$:

Niżej znajduje się standardowy kwadrat przemienny, w którym $h\circ f=k\circ g$.

Symbole

W tekstach algebraicznych rodzaj morfizmu może być oznaczony różnymi typami strzałek: monomorfizmy za pomocą $\hookrightarrow$, epimorfizmy za pomocą $\twoheadrightarrow$, a izomorfizmy za pomocą ${\overset {\sim }{\rightarrow }}$. Przerywana strzałka zwykle oznacza, że w danym diagramie postuluje się istnienie wskazanego morfizmu. Jest to na tyle popularne, że w tekstach nie tłumaczy się rodzajów strzałek.

Sprawdzanie przemienności

Przemienność ma sens dla wieloboku dowolnej skończonej liczbie boków (włączając w to nawet 1 i 2), a diagram jest przemienny, jeżeli każdy pod-diagram wieloboczny jest przemienny.

Dowodzenie

Popularną metodą dowodzenia, szczególnie w algebrze homologicznej, jest tzw. diagram chasing (ściganie [elementów] po diagramie). Dla danego diagramu przemiennego „dowód przez ściganie” polega na formalnym wykorzystaniu jego własności, takich jak injektywność, czy suriektywność przekształceń albo ciągi dokładne. W wyniku tego postępowania konstruuje się sylogizm, dla którego graficzne przedstawienie w postaci diagramu jest tylko pomocą wzrokową. Nazwa ma swoje źródło w metodzoe dowodzenia: „ściga” się elementy po całym diagramie, aż skonstruuje się upragniony element lub sprawdzi poprawność wyniku.

Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki

Linki zewnętrzne

• Diagram Chasing at MathWorld