Diagram przemienny: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
m Robot dodał pt:Diagrama comutativo |
m r2.7.3) (Robot dodał ar:المخطط التبادلي |
||
Linia 21: | Linia 21: | ||
[[Kategoria:Teoria kategorii]] |
[[Kategoria:Teoria kategorii]] |
||
[[ar:المخطط التبادلي]] |
|||
[[de:Kommutatives Diagramm]] |
[[de:Kommutatives Diagramm]] |
||
[[en:Commutative diagram]] |
[[en:Commutative diagram]] |
Wersja z 11:36, 2 gru 2012
Diagram przemienny – w matematyce, a szczególnie jej dziale nazywanym teorią kategorii, diagram składający się z obiektów (nazywanych również wierzchołkami) i morfizmów (znanych także jako strzałki lub krawędzie), w którym wybranie dowolnej drogi skierowanej między dwoma jego obiektami prowadzi do tego samego wyniku ze względu na składanie morfizmów. Diagramy przemienne odgrywają analogiczną rolę w teorii kategorii do równań w algebrze.
Przykłady
W następującym przykładzie przedstawiającym pierwsze twierdzenie o izomorfizmie przemienność oznacza, że :
Niżej znajduje się standardowy kwadrat przemienny, w którym .
Symbole
W tekstach algebraicznych rodzaj morfizmu może być oznaczony różnymi typami strzałek: monomorfizmy za pomocą , epimorfizmy za pomocą , a izomorfizmy za pomocą . Przerywana strzałka zwykle oznacza, że w danym diagramie postuluje się istnienie wskazanego morfizmu. Jest to na tyle popularne, że w tekstach nie tłumaczy się rodzajów strzałek.
Sprawdzanie przemienności
Przemienność ma sens dla wieloboku dowolnej skończonej liczbie boków (włączając w to nawet 1 i 2), a diagram jest przemienny, jeżeli każdy poddiagram wieloboczny jest przemienny.
Dowodzenie
Popularną metodą dowodzenia, szczególnie w algebrze homologicznej, jest tzw. diagram chasing (ściganie [elementów] po diagramie). Dla danego diagramu przemiennego „dowód przez ściganie” polega na formalnym wykorzystaniu jego własności, takich jak iniektywność, czy suriektywność przekształceń albo ciągi dokładne. W wyniku tego postępowania konstruuje się sylogizm, dla którego graficzne przedstawienie w postaci diagramu jest tylko pomocą wzrokową. Nazwa ma swoje źródło w metodzie dowodzenia: „ściga” się elementy po całym diagramie, aż skonstruuje się upragniony element lub sprawdzi poprawność wyniku.