Łańcuch (teoria mnogości): Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
→Zobacz też: odlinkowanie Skarbnicy Wikipedii i przekierowań do niej |
m przecinek, replaced: wtedy gdy → wtedy, gdy (3) przy użyciu AWB |
||
Linia 11: | Linia 11: | ||
* Zauważmy, że każdy zbiór jednoelementowy jest łańcuchem (i jednocześnie jest też [[antyłańcuch]]em). |
* Zauważmy, że każdy zbiór jednoelementowy jest łańcuchem (i jednocześnie jest też [[antyłańcuch]]em). |
||
* Rozważmy płaszczyznę <math>\mathbb{R}^2</math> z porządkiem częściowym zdefiniowanym przez |
* Rozważmy płaszczyznę <math>\mathbb{R}^2</math> z porządkiem częściowym zdefiniowanym przez |
||
: <math>\langle x_1,y_1\rangle \leqslant_0\langle x_2,y_2\rangle</math> wtedy i tylko wtedy gdy <math>x_1\leqslant x_2</math> i <math>y_1\leqslant y_2</math>. |
: <math>\langle x_1,y_1\rangle \leqslant_0\langle x_2,y_2\rangle</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>x_1\leqslant x_2</math> i <math>y_1\leqslant y_2</math>. |
||
: (Powyżej, <math>\leqslant </math> jest standardową nierównością na [[liczby rzeczywiste|prostej rzeczywistej]] <math>\mathbb{R}</math>.) Wówczas każda [[prosta]] pionowa i każda prosta o [[Znak liczby|nieujemnym]] współczynniku kierunkowym jest łańcuchem w <math>(\mathbb{R}^2,\leqslant_0)</math>. Także wykres dowolnej [[funkcja rosnąca|funkcji rosnącej]] jest łańcuchem w tym porządku. |
: (Powyżej, <math>\leqslant </math> jest standardową nierównością na [[liczby rzeczywiste|prostej rzeczywistej]] <math>\mathbb{R}</math>.) Wówczas każda [[prosta]] pionowa i każda prosta o [[Znak liczby|nieujemnym]] współczynniku kierunkowym jest łańcuchem w <math>(\mathbb{R}^2,\leqslant_0)</math>. Także wykres dowolnej [[funkcja rosnąca|funkcji rosnącej]] jest łańcuchem w tym porządku. |
||
* Rozważmy zbiór <math>{}^{\omega>}2</math> wszystkich skończonych ciągów zero-jedynkowych uporządkowany (częściowo) przez relację <math>\trianglelefteq</math> wydłużania ciągów. Dla ciągu nieskończonego <math>\eta:\omega\longrightarrow 2</math> połóżmy <math>A_\eta=\{\eta\upharpoonright n:n\in\omega\}</math>. Wówczas <math>A_\eta</math> jest łańcuchem w <math>({}^{\omega>}2,\trianglelefteq)</math>. Ponadto każdy łańcuch w tym porządku częściowym jest zawarty w zbiorze <math>A_\eta</math> dla pewnego <math>\eta:\omega\longrightarrow 2</math>. |
* Rozważmy zbiór <math>{}^{\omega>}2</math> wszystkich skończonych ciągów zero-jedynkowych uporządkowany (częściowo) przez relację <math>\trianglelefteq</math> wydłużania ciągów. Dla ciągu nieskończonego <math>\eta:\omega\longrightarrow 2</math> połóżmy <math>A_\eta=\{\eta\upharpoonright n:n\in\omega\}</math>. Wówczas <math>A_\eta</math> jest łańcuchem w <math>({}^{\omega>}2,\trianglelefteq)</math>. Ponadto każdy łańcuch w tym porządku częściowym jest zawarty w zbiorze <math>A_\eta</math> dla pewnego <math>\eta:\omega\longrightarrow 2</math>. |
||
* ''Twierdzenie Dilwortha'' mówi że częściowy porządek <math>(P, \sqsubseteq)</math> jest [[Suma zbiorów|sumą]] <math>n</math> łańcuchów (<math>n\in \mathbb{N}</math>) wtedy i tylko wtedy gdy <math>P</math> nie zawiera <math>n+1</math> elementowych antyłańcuchów (w sensie teorii posetów). |
* ''Twierdzenie Dilwortha'' mówi że częściowy porządek <math>(P, \sqsubseteq)</math> jest [[Suma zbiorów|sumą]] <math>n</math> łańcuchów (<math>n\in \mathbb{N}</math>) wtedy i tylko wtedy, gdy <math>P</math> nie zawiera <math>n+1</math> elementowych antyłańcuchów (w sensie teorii posetów). |
||
== Warunki łańcucha == |
== Warunki łańcucha == |
||
Linia 21: | Linia 21: | ||
* Podobnie mówimy że <math>P</math> spełnia '''warunek malejących łańcuchów''' lub DCC (od [[język angielski|ang.]] ''descending chain condition'') jeśli każdy malejący łańcuch <math>a_0\sqsupseteq a_1\sqsupseteq a_2\sqsupseteq\ldots</math> jest od pewnego miejsca stały. |
* Podobnie mówimy że <math>P</math> spełnia '''warunek malejących łańcuchów''' lub DCC (od [[język angielski|ang.]] ''descending chain condition'') jeśli każdy malejący łańcuch <math>a_0\sqsupseteq a_1\sqsupseteq a_2\sqsupseteq\ldots</math> jest od pewnego miejsca stały. |
||
W teorii [[forsing]]u rozważa się własność określaną czasami jako '''warunek przeliczalnego łańcucha'''. Własność ta bezpośredniego związku z łańcuchami nie ma i lepszą nazwą dla niej jest ''warunek przeliczalnych antyłańcuchów'' (jako że ta własność postuluje że każdy antyłańcuch w rozważanym pojęciu forcingu jest przeliczalny). Użycie słowa ''łańcuch'' było prawdopodobnie spowodowane pewnym zamieszaniem w stosowanym nazewnictwie w początkowych latach rozwoju teorii. Innym możliwym wytłumaczeniem jest fakt, że jeśli <math>\mathbb{B}</math> jest zupełną [[algebra Boole'a|algebrą Boole'a]], to każdy antyłańcuch w <math>\mathbb{B}^+</math> jest przeliczalny wtedy i tylko wtedy gdy w algebrze <math>\mathbb{B}</math> nie istnieje nieprzeliczalny ściśle malejący ciąg <math>a_0>a_1>\ldots>a_\alpha>\ldots</math> (<math>\alpha<\omega_1</math>). |
W teorii [[forsing]]u rozważa się własność określaną czasami jako '''warunek przeliczalnego łańcucha'''. Własność ta bezpośredniego związku z łańcuchami nie ma i lepszą nazwą dla niej jest ''warunek przeliczalnych antyłańcuchów'' (jako że ta własność postuluje że każdy antyłańcuch w rozważanym pojęciu forcingu jest przeliczalny). Użycie słowa ''łańcuch'' było prawdopodobnie spowodowane pewnym zamieszaniem w stosowanym nazewnictwie w początkowych latach rozwoju teorii. Innym możliwym wytłumaczeniem jest fakt, że jeśli <math>\mathbb{B}</math> jest zupełną [[algebra Boole'a|algebrą Boole'a]], to każdy antyłańcuch w <math>\mathbb{B}^+</math> jest przeliczalny wtedy i tylko wtedy, gdy w algebrze <math>\mathbb{B}</math> nie istnieje nieprzeliczalny ściśle malejący ciąg <math>a_0>a_1>\ldots>a_\alpha>\ldots</math> (<math>\alpha<\omega_1</math>). |
||
== Funkcje kardynalne == |
== Funkcje kardynalne == |
Wersja z 16:35, 30 paź 2015
Łańcuchy to w teorii częściowych porządków i w teorii mnogości podzbiory porządku na których relacja porządkująca jest spójna.
Definicja
Przy określonym częściowym porządku zbiór nazywamy łańcuchem wtedy i tylko wtedy, gdy
- .
Innymi słowy zbiór jest łańcuchem wtedy i tylko wtedy, gdy relacja porządkuje go liniowo, czyli jest ona relacją spójną w .
Intuicyjnie, zbiór jest łańcuchem, gdy da się porównać każde dwa jego elementy.
Przykłady i własności
- Zauważmy, że każdy zbiór jednoelementowy jest łańcuchem (i jednocześnie jest też antyłańcuchem).
- Rozważmy płaszczyznę z porządkiem częściowym zdefiniowanym przez
- wtedy i tylko wtedy, gdy i .
- (Powyżej, jest standardową nierównością na prostej rzeczywistej .) Wówczas każda prosta pionowa i każda prosta o nieujemnym współczynniku kierunkowym jest łańcuchem w . Także wykres dowolnej funkcji rosnącej jest łańcuchem w tym porządku.
- Rozważmy zbiór wszystkich skończonych ciągów zero-jedynkowych uporządkowany (częściowo) przez relację wydłużania ciągów. Dla ciągu nieskończonego połóżmy . Wówczas jest łańcuchem w . Ponadto każdy łańcuch w tym porządku częściowym jest zawarty w zbiorze dla pewnego .
- Twierdzenie Dilwortha mówi że częściowy porządek jest sumą łańcuchów () wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera elementowych antyłańcuchów (w sensie teorii posetów).
Warunki łańcucha
W teorii porządków częściowych rozważa się czasami dwie własności porządków bezpośrednio związane z łańcuchami. Niech będzie zbiorem częściowo uporządkowanym.
- Powiemy że spełnia warunek rosnących łańcuchów lub ACC (od ang. ascending chain condition) jeśli każdy rosnący łańcuch jest od pewnego miejsca stały.
- Podobnie mówimy że spełnia warunek malejących łańcuchów lub DCC (od ang. descending chain condition) jeśli każdy malejący łańcuch jest od pewnego miejsca stały.
W teorii forsingu rozważa się własność określaną czasami jako warunek przeliczalnego łańcucha. Własność ta bezpośredniego związku z łańcuchami nie ma i lepszą nazwą dla niej jest warunek przeliczalnych antyłańcuchów (jako że ta własność postuluje że każdy antyłańcuch w rozważanym pojęciu forcingu jest przeliczalny). Użycie słowa łańcuch było prawdopodobnie spowodowane pewnym zamieszaniem w stosowanym nazewnictwie w początkowych latach rozwoju teorii. Innym możliwym wytłumaczeniem jest fakt, że jeśli jest zupełną algebrą Boole'a, to każdy antyłańcuch w jest przeliczalny wtedy i tylko wtedy, gdy w algebrze nie istnieje nieprzeliczalny ściśle malejący ciąg ().
Funkcje kardynalne
W porządkach skończonych wprowadza się długość porządku (czasami zwaną też wysokością porządku) jako ilość elementów w najdłuższym łańcuchu w tym porządku. Dwie funkcje kardynalne na algebrach Boole'a, głębokość i długość są bezpośrednio związane ze strukturą łancuchów w rozważanej algebrze. Niech będzie algebrą Boole'a. Określamy
- jest łańcuchem
- jest dobrze uporządkowanym łańcuchem .