Spirala Archimedesa

Spirala Archimedesa jako wykres równania r = a φ (dla a, φ > 0)

Spirala Archimedesa – krzywa płaska, taka że odległość $r$ punktu poruszającego się po spirali od jej punktu początkowego rośnie proporcjonalnie do kąta obrotu $\varphi .$ We współrzędnych biegunowych spiralę Archimedesa definiuje równanie:

$r=|a\varphi |,$

gdzie:

$\varphi >0$ lub $\varphi <0$

$a\neq 0$ – ustalony parametr spirali; im większa jego wartość bezwzględna, tym większa odległość od siebie kolejnych zwojów spirali.

Dla $\varphi >0$ spirala kręci się przeciwnie niż wskazówki zegara (jest lewoskrętna).

Dla $\varphi <0$ spirala kręci się zgodnie ze wskazówkami zegara (jest prawoskrętna).

Ogólniej:

$r=|a\varphi +b|$.

Jeden obrót spirali to zmiana parametru o 360°, co w radianach wynosi $2\pi \approx 6,28.$

Równanie spirali Archimedesa we współrzędnych kartezjańskich

Koła oscylujące spirali Archimedesa. Sama spirala nie jest rysowana: widzimy ją jako miejsce punktów, w których okręgi są szczególnie blisko siebie

Przechodzimy od równania we współrzędnych biegunowych do równań we współrzędnych kartezjańskich za pomocą przekształceń:

${\begin{cases}x=r\cos \varphi \\y=r\sin \varphi \end{cases}}$

(1) równanie parametryczne spirali Archimedesa obracającej się przeciwnie do wskazówek zegara otrzyma się dla $\varphi >0;$ równania te mają postać:

${\begin{cases}x(\varphi )=a\,\varphi \,\cos \varphi \\y(\varphi )=a\,\varphi \,\sin \varphi \end{cases}}$

gdzie:

$\varphi \in [0,+\infty )$ – parametr kątowy;

$a$ – stały parametr spirali, $a\neq 0;$ przy czym:

a) dla $a>0$ otrzyma się spiralę jak na rysunku powyżej;

b) dla $a'=-a<0$ otrzyma się tę samą spiralę obróconą o 180° wokół prostej prostopadłej do płaszczyzny spirali, przechodzącej przez początek układu współrzędnych, tj. równania tej spirali mają postać:

${\begin{cases}x(\varphi )=-a\,\varphi \,\cos \varphi \\y(\varphi )=-a\,\varphi \,\sin \varphi \end{cases}}$

gdzie $\varphi \in [0,+\infty ).$

Obie spirale gładko łączą się ze sobą w punkcie początkowym.

(2) równanie parametryczne spirali Archimedesa obracającej się zgodnie ze wskazówkami zegara otrzyma się dla $\varphi <0;$ równania te mają postać:

${\begin{cases}x(\varphi )=-a\,\varphi \,\cos \varphi \\y(\varphi )=-a\,\varphi \,\sin \varphi \end{cases}}$

gdzie:

$\varphi \in (-\infty ,0]$ – parametr kątowy;

$a$ – stały parametr spirali, $a\neq 0.$

Dla $a'=-a$ otrzyma się tę samą spiralę obróconą o 180° wokół prostej prostopadłej do płaszczyzny spirali, przechodzącej przez początek układu współrzędnych. Obie spirale gładko łączą się ze sobą w punkcie początkowym.

Porównując równania spirali lewo- i prawoskrętnych widać, że równania są identyczne – o skrętności decyduje jednak to, czy parametr kątowy $\varphi$ jest w zakresie liczb większych czy mniejszych od zera.

Uogólnienia na inne krzywe

Spiralę Archimedesa uogólnia się na krzywe zdefiniowane wzorem:

$r=|a\varphi ^{1/n}|$

lub ogólniej:

$r=|a\varphi ^{1/n}+b|.$

W szczególności:

• dla $n=1$ jest to spirala Archimedesa,
• dla $n=-1$ jest to spirala hiperboliczna,
• dla $n=2$ jest to spirala Fermata.

Po angielsku czasem noszą one wspólną nazwę Archimedean spirals.

Zobacz też

• lista krzywych
• loksodroma
• spirala logarytmiczna

Bibliografia

• Karol Borsuk: Geometria analityczna wielowymiarowa. Wyd. IV. T. 23. Warszawa: 1976, s. 198, seria: Biblioteka Matematyczna.

Literatura dodatkowa

• S.F. Finkow: Geometria różniczkowa. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1956, s. 27.
• Franciszek Leja: Geometria analityczna. Wyd. II. Warszawa: PWN, 1956, s. 157.
• Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. III. Warszawa: PWN, 1954, s. 151.
• Encyklopedia szkolna – matematyka. Wyd. I. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1990, s. 258. ISBN 83-02-02551-8.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Archimedes’ Spiral, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• Archimedean spiral (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].
• Spiral of Archimedes (ang.), MacTutor History of Mathematics archive – University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2026-01-18].