Flaga (algebra liniowa)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Flaga – rosnący ciąg podprzestrzeni skończeniewymiarowej przestrzeni liniowej , gdzie wyraz „rosnący” oznacza, iż każda z przestrzeni jest właściwą podprzestrzenią kolejnej (zob. filtracja):

Jeżeli to

gdzie oznacza wymiar (przyjmując, że jest ona skończeniewymiarowa). Stąd musi być Flagę nazywa się zupełną, jeżeli w przeciwnym wypadku nazywa się ją częściową.

Flagę częściową można otrzymać z zupełnej poprzez usunięcie pewnej liczby podprzestrzeni i odwrotnie: każda flaga częściowa może być uzupełniona (na wiele różnych sposobów) poprzez wstawianie odpowiednich podprzestrzeni.

Ciąg wymiarów podprzestrzeni z których się składa, nazywa się sygnaturą flagi.

Bazy[edytuj]

O uporządkowanej bazie mówi się, że jest adaptowana do flagi, jeżeli pierwsze wektorów bazowych stanowi bazę dla każdego Za pomocą standardowych twierdzeń algebry liniowej można dowieść, że każda flaga ma bazę adaptowaną.

Dowolna baza uporządkowana może być przekształcona w flagę zupełną przyjmując, iż każda z podprzestrzeni jest rozpięta przez pierwsze wektorów bazowych. Na przykład flaga standardowa w jest indukowana za pomocą bazy standardowej gdzie oznacza wektor z na -tej współrzędnej i z na pozostałych. Mianowicie jest to ciąg podprzestrzeni:

Baza adaptowana prawie nigdy nie jest wyznaczona jednoznacznie (trywialne kontrprzykłady); zobacz niżej.

Flaga zupełna na przestrzeni unitarnej ma w zasadzie wyznaczoną jednoznacznie bazę ortonormalną: jest ona jednoznaczna co do mnożenia każdego z wektorów przez jedność (skalar jednostkowy, jak np. ). Najłatwiej wynik ten osiągnąć za pomocą indukcji zauważając, że co definiuje ją jednoznacznie co do jedności.

Bardziej abstrakcyjnie: jest ona wyznaczona jednoznacznie co do działania torusa maksymalnego – flaga odpowiada podgrupie Borela, a iloczyn skalarny jest odpowiednikiem maksymalnej podgrupy zwartej.

Stabilizator[edytuj]

Podgrupa stabilizatora standardowej flagi grupą odwracalnych macierzy górnotrójkątnych.

Ogólniej, stabilizator flagi (złożony z operatorów liniowych działających na takich, że dla każdego ) jest, w języku macierzy, algebrą górnotrójkątnych macierzy klatkowych (względem bazy adaptowanych), gdzie klatki są stopnia . Podgrupą stabilizatora flagi zupełnej jest górnotrójkątnych macierzy odwracalnych względem dowolnej bazy adaptowanej do flagi. Podgrupa macierzy dolnotrójkątnych względem takiej bazy zależy od tej bazy i z tego powodu nie może być scharakteryzowana wyłącznie za pomocą języka flag.

Podgrupa stabilizatora dowolnej flagi zupełnej jest podgrupą Borela (pełnej grupy liniowej), a stabilizator dowolnej flagi częściowej to podgrupa paraboliczna.

Podgrupa stabilizatora flagi działa w sposób regularny na bazach adaptowanych do flagi, tak więc nie są one wyznaczone w sposób jednoznaczny, o ile stabilizator nie jest trywialny, co zdarza się w wyjątkowej sytuacji: wyłącznie dla przestrzeni liniowej wymiaru lub przestrzeni liniowej nad wymiaru (a więc dokładnie w tych przypadkach, gdy istnieje dokładnie jedna baza, niezależnie od jakiejkolwiek flagi).

Uogólnienia[edytuj]

Gniazdo podprzestrzeni[edytuj]

 Zobacz też: algebra gniazdowa.

W nieskończeniewymiarowej przestrzeni , jaką spotyka się w analizie funkcjonalnej, ideę flagi uogólnia się do gniazda podprzestrzeni (ang. subspace nest). Jest to uporządkowany liniowo (za pomocą inkluzji) zbiór podprzestrzeni zamknięty ze względu na branie przekrojów i powłok liniowych.

Zobacz też[edytuj]