Trochoida

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Trochoida (gr. trochós – koło, eídos – kształt) – krzywa płaska zakreślona przez dowolnie obrany punkt stale związany z kołem toczącym się wzdłuż wewnętrznej lub zewnętrznej strony stałego (nie poruszającego się) okręgu bez poślizgu. Termin został wprowadzony do matematyki przez Gilles'a de Robervala.

Jeśli punkt pokrywa się ze środkiem toczącego się koła, wówczas poruszając się zakreśla okrąg. W pozostałych przypadkach tor ruchu to krzywa (trochoida).

Charakterystyka trochoid[edytuj]

Wyróżnia się 6 typów trochoid, a ich nazwa zależy od dwóch czynników:

  1. Odległość punktu od środka toczącego się koła (, , )
  2. Wzajemne położenie koła poruszającego się i koła stałego na płaszczyźnie. Istnieją dwie możliwości:
    1. jeśli toczące się koło znajduje się wewnątrz koła stałego, wówczas nazwy trochoid rozpoczynają się przedrostkiem hipo- (gr. hypó – pod, poniżej),
    2. jeśli porusza się ono wzdłuż zewnętrznej strony koła stałego, nazwy mają przedrostek epi- (gr. epí – na, do).

Hipocykloida[edytuj]

 Osobny artykuł: hipocykloida.
Asteroida – szczególny przypadek hipocykloidy, taki że R/r = 4

Cechy charakterystyczne:

  • punkt leży na obwodzie koła (),
  • hoło toczy się wzdłuż wewnętrznej strony koła stałego,
  • hipocykloida opisywana jest równaniami parametrycznymi:
.

Hipotrochoida[edytuj]

 Osobny artykuł: hipotrochoida.

Wspólna nazwa hipocykloidy skróconej i hipocykloidy wydłużonej.

Uwaga
niektóre źródła[1] uznają pojęcie hipotrochoida za synonim hipocykloidy skróconej.

Hipocykloida skrócona[edytuj]

Cechy charakterystyczne:

  • punkt leży wewnątrz koła na jego promieniu (),
  • koło toczy się wzdłuż wewnętrznej strony koła stałego,
  • hipotrochoidę najłatwiej opisać równaniami parametrycznymi:
.

Hipocykloida wydłużona[edytuj]

Hipocykloida wydłużona

Cechy charakterystyczne:

  • punkt leży na zewnątrz koła (),
  • koło toczy się wzdłuż wewnątrznej strony koła stałego,
  • hipocykloidę wydłużoną opisuje się tymi samymi równaniami parametrycznymi, co hipotrochoidę:
.

Epicykloida[edytuj]

 Osobny artykuł: epicykloida.
Epicykloida dla R = 3, r = h = 1

Cechy charakterystyczne:

  • punkt leży na obwodzie koła (),
  • koło toczy się wzdłuż zewnętrznej strony koła stałego,
  • epicykloidę opisuje się równaniami parametrycznymi:
.

Epitrochoida[edytuj]

 Osobny artykuł: epitrochoida.

Wspólna nazwa epicykloidy skróconej i epicykloidy wydłużonej.

Uwaga
niektóre źródła uznają pojęcie epitrochoida za synonim epicykloidy skróconej.

Epicykloida skrócona[edytuj]

Epicykloida skrócona dla R = 3, r = 1 oraz h = 1/2

Cechy charakterystyczne:

  • punkt leży wewnątrz koła na jego promieniu (),
  • koło toczy się wzdłuż zewnętrznej strony koła stałego,
  • epicykloidę skróconą opisuje się równaniami parametrycznymi:
.

Epicykloida wydłużona[edytuj]

  • punkt leży na zewnątrz koła (),
  • koło toczy się wzdłuż zewnętrznej strony koła stałego,
  • epicykloidę wydłużoną opisuje się równaniami:
.

Krzywa otwarta[edytuj]

  • Jeżeli stosunek jest liczbą niewymierną, wykreśloną przez punkt , krzywą nazywamy krzywą otwartą.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

Bibliografia[edytuj]