Twierdzenie Jordana-Dehna
Twierdzenie Jordana-Dehna – twierdzenie mówiące, że łamana zamknięta rozcina płaszczyznę na dwa obszary i jest ich wspólnym brzegiem. Szczególny przypadek twierdzenia o krzywej Jordana.
Dowód[edytuj | edytuj kod]
Niech będzie łamaną zamkniętą na płaszczyźnie euklidesowej a niech będzie prostą o kierunku różnym od kierunków prostych zawierających boki łamanych. Prosta oraz jedna z prostych do niej prostopadłych wyznaczają układ współrzędnych kartezjańskich, w których prosta jest osią odciętych. Przy takim wyborze osi odciętych każda prosta do niej równoległa może przeciąć dowolny bok łamanej w co najwyżej jednym punkcie[1].
Indeksem punktu względem łamanej jest funkcja
która przyjmuje wartość:
- 0 jeśli półprosta przechodząca przez punkt przecina łamaną w parzystej liczbie punktów,
- 1 jeśli półprosta przechodząca przez punkt przecina łamaną w nieparzystej liczbie punktów.
Przy tym nie są liczone przecięcia w tych wierzchołkach, w których oba boki łamanej wychodzące z wierzchołka znajdują się po jednej stronie prostej.
Na rysunku punkty i mają względem pomarańczowej krzywej indeks 0, a pozostałe mają indeks 1.
Indeks ma dwie własności:
- Przyjmuje obie wartości.
- Jest funkcją lokalnie stałą, czyli jeśli przyjmuje wartość w pewnym punkcie, to przyjmuje ją w pewnym jego otoczeniu.
Dowód własności 1. Przede wszystkim trzeba udowodnić, że istnieje półprosta równoległa do osi odciętych, która przecina łamaną w co najmniej dwóch punktach. Łamana ma skończoną liczbę wierzchołków: Gdyby taka półprosta nie istniała, to niech będzie taką permutacją indeksów że Wierzchołek jest połączony bokami łamanej z dwoma wierzchołkami gdzie Niech
Wtedy półprosta
przecina bok łamanej o końcach w punkcie
Nie przecina natomiast odcinka o końcach bo
Z aksjomatu Pascha zastosowanego do trójkąta o wierzchołkach wynika, że półprosta ta przecina drugi bok łamanej o wierzchołkach Znaleźliśmy półprostą przecinającą łamaną w dwóch punktach.
Niech będzie półprostą o początku w punkcie równoległą do osi odciętych, przecinającą łamaną w co najmniej dwóch punktach Ponieważ łamana ma skończoną liczbę boków, więc półprosta ma co najwyżej punktów przecięcia z łamaną i można założyć, że punkty są punktami kolejnymi. Jeśli leży między punktami i liczba punktów przecięcia półprostej jest o 1 większa od punktów przecięcia półprostej czyli co kończy dowód własności 1.
Dowód własności 2. Ponieważ łamana jako suma odcinków domkniętych (wraz z końcami) jest zbiorem domkniętym i ograniczonym, więc jest podzbiorem zwartym płaszczyzny i dlatego dla każdego punktu istnieje taki prostokąt że:
- zbiór zawiera tylko te wierzchołki łamanej, które leżą na prostej
Wtedy dla każdego punktu
bo liczba punktów przecięcia łamanej przez półprostą wyznaczoną przez punkt różni się o co najwyżej parzystą liczbę od liczby punktów przecięcia łamanej przez półprostą wyznaczoną przez punkt
Z obu tych własności wynika, że dopełnienie łamanej jest sumą dwóch zbiorów otwartych W dowolnym otoczeniu każdego punktu łamanej można znaleźć punkty obu tych zbiorów. Dlatego łamana ta jest ich wspólnym brzegiem.
Wniosek[edytuj | edytuj kod]
- Każda łamana zamknięta jest brzegiem pewnej figury ograniczonej. Nazywamy ją wielokątem.
Przypisy[edytuj | edytuj kod]
- ↑ Na podstawie książek Couranta, Robbinsa, op. cit., s. 345–348 i Mioduszewskiego, op. cit., s. 28–29.
Bibliografia[edytuj | edytuj kod]
- Jerzy Mioduszewski. Wykłady z topologii. Topologia przestrzeni euklidesowych. „Skrypty Uniwersytetu Śląskiego”, 1994. Katowice: Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego. ISSN 0239-6432.
- Courant R., Robbins H.: Co to jest matematyka?. Warszawa: PWN, 1959.