Krzywa Jordana
Krzywa Jordana – homeomorficzny obraz okręgu na płaszczyźnie[1]. Funkcjonuje też nieco słabsza definicja:
- Odwzorowanie ciągłe przedziału w płaszczyznę nazywa się krzywą na płaszczyźnie. Jeśli to tę krzywą nazywa się zamkniętą, a jeśli ponadto jest ona różnowartościowa w przedziale nazywana jest ona krzywą Jordana.
W praktyce krzywą Jordana nazywa się też obraz tej krzywej na płaszczyźnie i ten obiekt jest homeomorficzny z okręgiem[2].
Twierdzenia
[edytuj | edytuj kod]Z krzywą Jordana związanych jest kilka twierdzeń.
- Twierdzenie o krzywej Jordana
- Każda krzywa Jordana rozdziela płaszczyznę na dwa odrębne obszary i jest ich wspólnym brzegiem[1].
Twierdzenie to było przez długi czas uważane za oczywiste, po raz pierwszy zapisał je jednak Camille Jordan w 1887 roku, dzięki czemu nosi jego imię. Dosyć łatwo je udowodnić dla krzywych gładkich lub odcinkami gładkich, jednak dla krzywych w żadnym punkcie niegładkich jest to zadanie trudne. Pierwszy poprawny dowód twierdzenia Jordana podał w roku 1905 Oswald Veblen.
- Twierdzenie Jordana-Schönfliesa
- Dla każdej krzywej Jordana istnieje homeomorfizm płaszczyzny na siebie, który przeprowadza tę krzywą na okrąg[3].
- Twierdzenie Jordana-Brouwera
- Każda n−1-wymiarowa sfera zanurzona w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej rozdziela tę przestrzeń na dwa rozłączne obszary[4].
Twierdzenie to nie daje się uogólnić do odpowiednika twierdzenia Jordana-Schönfliesa dla wymiarów – istnieją bryły, których powierzchnia jest homeomorficzna ze sferą, jednak zewnętrze nie jest homeomorficzne z zewnętrzem kuli. Pierwszą odkrytą taką bryłą była rogata sfera Alexandera.
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]- łuk zwykły (łuk Jordana)
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ a b Kuratowski 1962 ↓, s. 239.
- ↑ Krzyż i Ławrynowicz 1981 ↓, s. 27.
- ↑ Kuratowski 1962 ↓, s. 241.
- ↑ Hurewicz i Wallman 1945 ↓, s. 138.
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- Jan Krzyż, Julian Ławrynowicz: Elementy analizy zespolonej. Warszawa: WNT, 1981. ISBN 83-204-0239-5.
- Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Warszawa: PWN, 1962.
- Witold Hurewicz, Henry Wallman: Teoria wymiaru (tłum. ros.). Moskwa: ГИИЛ, 1945.
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]- Grant Sanderson, Who cares about topology? (Inscribed rectangle problem), 3blue1brown, YouTube, [dostęp 2021-03-15] – materiał o problemie prostokątów wpisanych w krzywe Jordana.