Krzywa Jordana

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Krzywa Jordana (albo łuk zwykły) – homeomorficzny obraz okręgu na płaszczyźnie[1]. Definicja ta jest w pewnym sensie równoważna następującej:

Krzywą \gamma na płaszczyźnie nazywamy odwzorowanie ciągłe przedziału (\alpha, \beta) w płaszczyznę. Jeśli \gamma (\alpha) = \gamma (\beta) krzywą tę nazywamy krzywą zamkniętą, a jeśli ponadto jest ona różnowartościowa w przedziale \{ t: \alpha < t < \beta \}, nazywamy ją krzywą Jordana. W praktyce krzywą Jordana nazywamy też obraz tej krzywej na płaszczyźnie i ten obiekt jest homeomorficzny z okręgiem[2].

Z krzywą Jordana związanych jest kilka twierdzeń.

Twierdzenie o krzywej Jordana[edytuj | edytuj kod]

Każda krzywa Jordana rozdziela płaszczyznę na dwa odrębne obszary i jest ich wspólnym brzegiem.[3]

Który z zaznaczonych punktów należy do wnętrza wielokąta?

Twierdzenie to było przez długi czas uważane za oczywiste, po raz pierwszy zapisał je jednak Camille Jordan w 1887 roku, dzięki czemu nosi jego imię. Dosyć łatwo je udowodnić dla krzywych gładkich lub odcinkami gładkich, jednak dla krzywych niegładkich w żadnym punkcie jest to trudne zadanie. Pierwszy poprawny dowód twierdzenia Jordana podał w roku 1905 Oswald Veblen.

Twierdzenie Jordana-Schönfliesa[edytuj | edytuj kod]

Dla każdej krzywej Jordana istnieje homeomorfizm płaszczyzny na siebie, który przeprowadza tę krzywą na okrąg.[4]

Twierdzenie Jordana-Brouwera[edytuj | edytuj kod]

Każda n-1 wymiarowa sfera zanurzona w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej rozdziela tę przestrzeń na dwa rozłączne obszary[5].

Twierdzenie to nie daje się uogólnić do odpowiednika twierdzenia Jordana-Schönfliesa dla n wymiarów – istnieją bryły, których powierzchnia jest homeomorficzna ze sferą, jednak zewnętrze nie jest homeomorficzne z zewnętrzem kuli. Pierwszą odkrytą taką bryłą była rogata sfera Alexandera.

Przypisy

  1. Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Warszawa: PWN, 1962, s. 239.
  2. Jan Krzyż, Julian Ławrynowicz: Elementy analizy zespolonej. Warszawa: WNT, 1981, s. 27. ISBN 83-204-0239-5.
  3. Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Warszawa: PWN, 1962, s. 239.
  4. Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Warszawa: PWN, 1962, s. 241.
  5. Witold Hurewicz, Henry Wallman: Teoria wymiaru (tłum. ros.). Moskwa: ГИИЛ, 1945, s. 138.