Zbiór ograniczony

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Zbiór ograniczony – termin używany na określenie zbiorów w pewnym sensie małych. Dokładna definicja tego pojęcia zależy od kontekstu w którym jest ono wprowadzane.

Np. na prostej rzeczywistej ograniczone są przedziały liczbowe, które zadane są przez liczby skończone, np. , lub . Nieograniczone zaś są np. , i cała prosta.

Porządki częściowe[edytuj]

Niech będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. Przypuśćmy też, że i . Powiemy, że

  • element jest ograniczeniem górnym zbioru jeśli ,
  • element jest ograniczeniem dolnym zbioru jeśli [1].

Każdy element zbioru jest zarówno ograniczeniem dolnym jak i ograniczeniem górnym zbioru pustego.

Jeśli istnieje ograniczenie górne dla zbioru , to mówimy iż zbiór ten jest ograniczony z góry, a jeśli istnieje ograniczenie dolne, to powiemy że zbiór jest ograniczony z dołu.

Zbiory ograniczone to zbiory które mają obydwa ograniczenia, dolne i górne. Tak więc podzbiór zbioru częściowo uporządkowanego jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest on zawarty w pewnym przedziale.

W szczególności, podzbiór zbioru liczb rzeczywistych nazwiemy ograniczonym z góry (z dołu), jeżeli istnieje liczba większa (mniejsza) od wszystkich liczb tego zbioru, a jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest zawarty w pewnym skończonym przedziale.

Przestrzenie metryczne[edytuj]

Ograniczony podzbiór płaszczyzny (u góry) oraz jej nieograniczony podzbiór (na dole)

Niech będzie przestrzenią metryczną. Podzbiór przestrzeni nazywany jest zbiorem ograniczonym (w ), jeżeli jest on zawarty w pewnej kuli. Równoważnie, jeżeli

.

Przestrzenie liniowo-topologiczne[edytuj]

Niech będzie przestrzenią liniowo-topologiczną. Powiemy, że zbiór jest ograniczony w , gdy dla każdego otoczenia zera istnieje , że .

Można wykazać, że jeśli jest jednocześnie przestrzenią metryczną, to definicja ta jest równoważna definicji zbioru ograniczonego w sensie przestrzeni metrycznych.

Przypisy

  1. Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1973, s. 121, seria: Biblioteka Matematyczna.

Zobacz też[edytuj]