Wielomiany Zernike'a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wielomiany Zernike'a są zbiorem wielomianów ortogonalnych wewnątrz koła jednostkowego wprowadzonych przez Fritsa Zernike.

Definicja[edytuj]

Wielomiany Zernike'a zdefiniowane są w postaci zespolonej:

gdzie:

liczbami naturalnymi takimi, że , oraz jest parzyste
współrzędnymi biegunowymi punktu (odpowiednio długością promienia wodzącego i wartością kąta skierowanego).
jest wielomianem radialnym postaci:

Czasami spotyka się również definicję wielomianów Zernike'a w postaci rzeczywistej. Wyróżnia się parzyste i nieparzyste wielomiany Zernike'a.

- wielomian parzysty
- wielomian nieparzysty

Przykłady[edytuj]

Kolejne wielomiany Zernike mają rozwinięcie

Mapy jasności niektórych wielomianów Zernike'a:

Część rzeczywista Zer20re.png Zer22re.png Zer31re.png Zer33re.png Zer40re.png
Część urojona Zer22im.png Zer31im.png Zer33im.png

ZerPal.png

Własności[edytuj]

Wielomiany radialne są ortogonalne:

gdzie oznacza deltę Kroneckera. Podobnie, ortogonalność zachodzi dla wielomianów Zernike'a:

Wielomiany te posiadają również własność rotacyjną

co oznacza, że ich moduł jest niezależny od obrotu:

.

Sprzężenie wielomianu Zernike'a ma wartość:

Zastosowanie[edytuj]

W optyce, wielomiany Zernike'a stosuje się do opisu aberracji soczewek.

Wielomiany Zernike'a znalazły też zastosowanie w cyfrowym przetwarzaniu obrazów, do dekompozycji obrazów na tzw. momenty Zernike'a.

Zobacz też[edytuj]

Linki zewnętrzne[edytuj]