Wielomiany Zernike'a

Wielomiany Zernike'a są zbiorem wielomianów ortogonalnych wewnątrz koła jednostkowego wprowadzonych przez Fritsa Zernike.

Definicja

Wielomiany Zernike'a zdefiniowane są w postaci zespolonej:

$V_{n}^{\pm m}(\rho ,\theta )=R_{n}^{m}(\rho )\,\exp(\pm jm\theta )\,$$V_{n}^{\pm m}(\rho ,\theta )=R_{n}^{m}(\rho )\,\exp(\pm jm\theta )\,$

gdzie:

$n,m\,$$n,m\,$ są liczbami naturalnymi takimi, że $0\leqslant m\leqslant n$$0\leqslant m\leqslant n$, oraz $n-m\,$$n-m\,$ jest parzyste

$\rho ,\theta \,$$\rho ,\theta \,$ są współrzędnymi biegunowymi punktu (odpowiednio długością promienia wodzącego i wartością kąta skierowanego).

$R_{n}^{m}(\rho )\,$$R_{n}^{m}(\rho )\,$ jest wielomianem radialnym postaci:

$R_{n}^{m}(\rho )=\sum _{s=0}^{\frac {n-m}{2}}(-1)^{s}{\frac {(n-s)!}{s!({\frac {n+m}{2}}-s)!({\frac {n-m}{2}}-s)!}}\rho ^{n-2s}$$R_{n}^{m}(\rho )=\sum _{s=0}^{\frac {n-m}{2}}(-1)^{s}{\frac {(n-s)!}{s!({\frac {n+m}{2}}-s)!({\frac {n-m}{2}}-s)!}}\rho ^{n-2s}$

Czasami spotyka się również definicję wielomianów Zernike'a w postaci rzeczywistej. Wyróżnia się parzyste i nieparzyste wielomiany Zernike'a.

$Z_{n}^{m}(\rho ,\theta )=R_{n}^{m}(\rho )\,\cos(m\,\theta )\,$$Z_{n}^{m}(\rho ,\theta )=R_{n}^{m}(\rho )\,\cos(m\,\theta )\,$ - wielomian parzysty

$Z_{n}^{-m}(\rho ,\theta )=R_{n}^{m}(\rho )\,\sin(m\,\theta )\,$$Z_{n}^{-m}(\rho ,\theta )=R_{n}^{m}(\rho )\,\sin(m\,\theta )\,$ - wielomian nieparzysty

Przykłady

Kolejne wielomiany Zernike mają rozwinięcie

$V_{0}^{0}$$V_{0}^{0}$	$1\,$$1\,$
$V_{1}^{1}$$V_{1}^{1}$	$\rho \exp(j\theta )\,$$\rho \exp(j\theta )\,$
$V_{2}^{0}$$V_{2}^{0}$	$2\rho ^{2}-1\,$$2\rho ^{2}-1\,$
$V_{2}^{2}$$V_{2}^{2}$	$\rho ^{2}\ \exp(j2\theta )$$\rho ^{2}\ \exp(j2\theta )$
$V_{3}^{1}$$V_{3}^{1}$	$(3\rho ^{3}-2\rho )\ \exp(j\theta )$$(3\rho ^{3}-2\rho )\ \exp(j\theta )$
$V_{3}^{3}$$V_{3}^{3}$	$\rho ^{3}\ \exp(j3\theta )$$\rho ^{3}\ \exp(j3\theta )$
$V_{4}^{0}$$V_{4}^{0}$	$6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1\,$$6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1\,$
$V_{4}^{2}$$V_{4}^{2}$	$(4\rho ^{4}-3\rho ^{2})\ \exp(j2\theta )\,$$(4\rho ^{4}-3\rho ^{2})\ \exp(j2\theta )\,$
$V_{4}^{4}$$V_{4}^{4}$	$\rho ^{4}\ \exp(j4\theta )\,$$\rho ^{4}\ \exp(j4\theta )\,$

Mapy jasności niektórych wielomianów Zernike'a:

	$V_{2}^{0}$$V_{2}^{0}$	$V_{2}^{2}$$V_{2}^{2}$	$V_{3}^{1}$$V_{3}^{1}$	$V_{3}^{3}$$V_{3}^{3}$	$V_{4}^{0}$$V_{4}^{0}$
Część rzeczywista
Część urojona

Własności

Wielomiany radialne są ortogonalne:

$\int \limits _{0}^{1}\rho R_{n}^{m}(\rho ,\theta )\ R_{n'}^{m}(\rho ,\theta )\ d\rho ={\frac {1}{2(n+1)}}\delta _{nn'}$$\int \limits _{0}^{1}\rho R_{n}^{m}(\rho ,\theta )\ R_{n'}^{m}(\rho ,\theta )\ d\rho ={\frac {1}{2(n+1)}}\delta _{nn'}$

gdzie $\delta _{nn'}\,$$\delta _{nn'}\,$ oznacza deltę Kroneckera. Podobnie, ortogonalność zachodzi dla wielomianów Zernike'a:

$\iint \rho [V_{n}^{m}(\rho ,\theta )]^{*}\ V_{p}^{q}(\rho ,\theta )\ d\rho d\theta ={\frac {\pi }{n+1}}\delta _{nm}\delta _{pq}$$\iint \rho [V_{n}^{m}(\rho ,\theta )]^{*}\ V_{p}^{q}(\rho ,\theta )\ d\rho d\theta ={\frac {\pi }{n+1}}\delta _{nm}\delta _{pq}$

Wielomiany te posiadają również własność rotacyjną

$V_{n}^{m}(\rho ,\theta +\alpha )=V_{n}^{m}(\rho ,\theta )\exp(jm\alpha )$$V_{n}^{m}(\rho ,\theta +\alpha )=V_{n}^{m}(\rho ,\theta )\exp(jm\alpha )$

co oznacza, że ich moduł jest niezależny od obrotu:

$|V_{n}^{m}(\rho ,\theta +\alpha )|=|V_{n}^{m}(\rho ,\theta )|$$|V_{n}^{m}(\rho ,\theta +\alpha )|=|V_{n}^{m}(\rho ,\theta )|$.

Sprzężenie wielomianu Zernike'a ma wartość:

$(V_{n}^{m}(\rho ,\theta ))^{*}=V_{n}^{-m}(\rho ,\theta )\,$$(V_{n}^{m}(\rho ,\theta ))^{*}=V_{n}^{-m}(\rho ,\theta )\,$

Zastosowanie

W optyce, wielomiany Zernike'a stosuje się do opisu aberracji soczewek.

Wielomiany Zernike'a znalazły też zastosowanie w cyfrowym przetwarzaniu obrazów, do dekompozycji obrazów na tzw. momenty Zernike'a.

Zobacz też

• Wielomiany Legendre'a

Linki zewnętrzne

• Wielomiany Zernike'a na Mathworld (en.)
• James C. Wyant: "Zenike Polyniomials" (en.)