Parzystość liczb

Parzystość liczb – cecha liczb całkowitych, równoznaczna z ich podzielnością przez 2.

Dla każdego całkowitego $k$$k$:

• $2k$$2k$ jest liczbą parzystą
  • zbiór liczb parzystych

$\left\{2k\colon \,k\in \mathbb {Z} \right\}=\left\{\dots ,-6,-4,-2,0,2,4,6,\dots \right\}$$\left\{2k\colon \,k\in \mathbb {Z} \right\}=\left\{\dots ,-6,-4,-2,0,2,4,6,\dots \right\}$

• $2k+1$$2k+1$ jest liczbą nieparzystą
  • zbiór liczb nieparzystych

$\left\{2k+1\colon \,k\in \mathbb {Z} \right\}=\left\{\dots ,-5,-3,-1,1,3,5,\dots \right\}$$\left\{2k+1\colon \,k\in \mathbb {Z} \right\}=\left\{\dots ,-5,-3,-1,1,3,5,\dots \right\}$

Właściwości

• suma i różnica dwóch liczb o tej samej parzystości jest liczbą parzystą,
  • parzysta ± parzysta = parzysta; bo $2k\pm 2l=2(k\pm l)$$2k\pm 2l=2(k\pm l)$
  • nieparzysta ± nieparzysta = parzysta; bo $(2k+1)+(2l+1)=2(k+l+1)$$(2k+1)+(2l+1)=2(k+l+1)$ i $(2k+1)-(2l+1)=2(k-l)$$(2k+1)-(2l+1)=2(k-l)$
• suma i różnica dwóch liczb o różnej parzystości jest liczbą nieparzystą,
  • parzysta ± nieparzysta = nieparzysta; bo $2k+(2l+1)=2(k+l)+1$$2k+(2l+1)=2(k+l)+1$ i $2k-(2l+1)=2(k-l-1)+1$$2k-(2l+1)=2(k-l-1)+1$
  • nieparzysta ± parzysta = nieparzysta; bo $(2k+1)\pm 2l=2(k\pm l)+1$$(2k+1)\pm 2l=2(k\pm l)+1$
• iloczyn dwóch liczb nieparzystych jest liczbą nieparzystą,
  • nieparzysta · nieparzysta = nieparzysta; bo $(2k+1)\cdot (2l+1)=2(2kl+k+l)+1$$(2k+1)\cdot (2l+1)=2(2kl+k+l)+1$
• iloczyn dwóch liczb całkowitych, z których co najmniej jedna jest parzysta, jest liczbą parzystą,
  • parzysta · parzysta = parzysta; bo $2k\cdot 2l=2(2kl)$$2k\cdot 2l=2(2kl)$
  • parzysta · nieparzysta = parzysta; bo $2k\cdot (2l+1)=2(2kl+k)$$2k\cdot (2l+1)=2(2kl+k)$
  • nieparzysta · parzysta = parzysta; bo $2(k+1)\cdot 2l=2(2kl+l)$$2(k+1)\cdot 2l=2(2kl+l)$
• iloraz dwóch liczb jest parzysty wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczbą całkowitą oraz dzielna (licznik) ma większy wykładnik przy 2 niż dzielnik (mianownik) w rozkładzie na czynniki pierwsze.
  • Na przykład 30 / 10 nie jest liczbą parzystą, ponieważ obie liczby mają ten sam wykładnik przy 2 po rozkładzie na czynniki pierwsze: $30/10=(2^{1}\cdot 3^{1}\cdot 5^{1})/(2^{1}\cdot 5^{1})$$30/10=(2^{1}\cdot 3^{1}\cdot 5^{1})/(2^{1}\cdot 5^{1})$. Jeżeli któraś z tych liczb nie jest podzielna przez 2, to za wykładnik przy 2 należy uważać liczbę 0. I tak: $60/15=(2^{2}\cdot 3^{1}\cdot 5^{1})/(2^{0}\cdot 3^{1}\cdot 5^{1})$$60/15=(2^{2}\cdot 3^{1}\cdot 5^{1})/(2^{0}\cdot 3^{1}\cdot 5^{1})$ jest liczbą parzystą, gdyż $2>0$$2>0$.