Parzystość liczb

W matematyce liczby parzyste i liczby nieparzyste to liczby całkowite odpowiednio podzielne lub niepodzielne przez 2.

Dla każdego całkowitego $k$:

• $2k$ jest liczbą parzystą
  • zbiór liczb parzystych

$\left\{2k\colon\, k\in\mathbb{Z}\right\}=\left\{\dots, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, \dots\right\}$

• $2k+1$ jest liczbą nieparzystą
  • zbiór liczb nieparzystych

$\left\{2k+1\colon\, k\in\mathbb{Z}\right\}=\left\{\dots, -5, -3, -1, 1, 3, 5, \dots\right\}$

Parzystością liczby nazywa się jej bycie parzystą lub nieparzystą.

Właściwości

• suma i różnica dwóch liczb o tej samej parzystości jest liczbą parzystą,
  • parzysta ± parzysta = parzysta; bo $2k\pm2l=2(k\pm l)$
  • nieparzysta ± nieparzysta = parzysta; bo $(2k+1)+(2l+1)=2(k+l+1)$ i $(2k+1)-(2l+1)=2(k-l)$
• suma i różnica dwóch liczb o różnej parzystości jest liczbą nieparzystą,
  • parzysta ± nieparzysta = nieparzysta; bo $2k+(2l+1)=2(k+l)+1$ i $2k-(2l+1)=2(k-l-1)+1$
  • nieparzysta ± parzysta = nieparzysta; bo $(2k+1)\pm2l=2(k\pm l)+1$
• iloczyn dwóch liczb nieparzystych jest liczbą nieparzystą,
  • nieparzysta · nieparzysta = nieparzysta; bo $(2k+1)\cdot(2l+1)=2(2kl+k+l)+1$
• iloczyn dwóch liczb całkowitych, z których co najmniej jedna jest parzysta, jest liczbą parzystą,
  • parzysta · parzysta = parzysta; bo $2k\cdot2l=2(2kl)$
  • parzysta · nieparzysta = parzysta; bo $2k\cdot(2l+1)=2(2kl+k)$
  • nieparzysta · parzysta = parzysta; bo $2(k+1)\cdot2l=2(2kl+l)$
• iloraz dwóch liczb jest parzysty wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczbą całkowitą oraz dzielna (licznik) ma większy wykładnik przy 2 niż dzielnik (mianownik) w rozkładzie na czynniki pierwsze.
  • Na przykład 30 / 10 nie jest liczbą parzystą, ponieważ obie liczby mają ten sam wykładnik przy 2 po rozkładzie na czynniki pierwsze: $30/10=(2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^1) / (2^1 \cdot 5^1)$. Jeżeli któraś z tych liczb nie jest podzielna przez 2, to za wykładnik przy 2 należy uważać liczbę 0. I tak: $60/15=(2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1) / (2^0 \cdot 3^1 \cdot 5^1)$ jest liczbą parzystą, gdyż $2>0$.