Ortogonalność

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy pojęcia matematycznego. Zobacz też: ortogonalność grup ochronnych w chemii.

Ortogonalność (z gr. ortho – prosto, prosty, gonia – kąt) – uogólnienie pojęcia prostopadłości znanego z geometrii euklidesowej na abstrakcyjne przestrzenie z określonym iloczynem skalarnym, jak np. przestrzenie unitarne (w tym przestrzenie Hilberta) czy przestrzenie ortogonalne. Pojęcie ortogonalności bywa uogólnianie również na przestrzenie unormowane w których nie ma naturalnej struktury iloczynu skalarnego (ortogonalność w sensie Pitagorasa, ortogonalność w sensie Jamesa, ortogonalność w sensie Birkhoffa, T-ortogonalność)[1].

Prostopadłość wektorów w przestrzeni trójwymiarowej[edytuj | edytuj kod]

Długość wektora a = [a_x, a_y, a_z] w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej wyraża się wzorem

| a| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}.

Jeżeli a = [a_x, a_y, a_z] i b = [b_x, b_y, b_z] są wektorami z przestrzeni trójwymiarowej, to długość wektora c=b-a wynosi

|c| = |b - a| = \sqrt{(b_x - a_x)^2 + (b_y - a_y)^2 + (b_z - a_z)^2}.

Liczby |a|, |b|, |c| są długościami boków trójkąta {oab}, gdzie o = (0, 0, 0).

Trójkąt prostokątny o bokach \scriptstyle \mathbf a, \mathbf b, \mathbf c.

Wektory a, b są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy trójkąt oab jest prostokątny, a więc spełnia założenia twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa

|c|^2 = |a|^2 + |b|^2\,

tzn.

(b_x - a_x)^2 + (b_y - a_y)^2 + (b_z - a_z)^2 = a_x^2 + a_y^2 + a_z^2 + b_x^2 + b_y^2 + b_z^2\,

Zastosowanie wzoru na kwadrat różnicy do powyższej równości implikuje równość

-2a_x b_x - 2a_y b_y - 2a_z b_z = 0\,,

która upraszcza się do wyrażenia

a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = 0\,.

Lewa strona powyższej równości pokrywa się ze wzorem na iloczyn skalarny wektorów a i b w przestrzeni trójwymiarowej.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Elementy x i y przestrzeni unitarnej X z iloczynem skalarnym \langle \cdot, \cdot\rangle nazywa się ortogonalnymi, gdy

\langle x, y \rangle = 0.

Relację \langle x, y \rangle = 0 zapisuje się symbolicznie x\perp y. Podzbiór A przestrzeni unitarnej X nazywa się układem ortogonalnym, gdy każde dwa różne jego elementy są ortogonalne.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Przestrzenie euklidesowe
Information icon.svg Zobacz też: przestrzeń euklidesowa.

Wektory [-1, 3] i [3, 1] na płaszczyźnie są ortogonalne (prostopadłe), ponieważ

[-1, 3] \cdot [3, 1] = -1 \cdot 3 + 3 \cdot 1 = 0.

Wektor zerowy jest ortogonalny do każdego wektora.

Przestrzenie funkcyjne

Ortogonalność pojawia się również w kontekście przestrzeni funkcyjnych, w których określony jest pewien iloczyn skalarny. Z tego powodu mówi się często o funkcjach ortogonalnych, czy wielomianach ortogonalnych. Klasycznym przykładem jest przestrzeń L^2[a, b], tj. przestrzeń wszystkich funkcji, określonych na przedziale \scriptstyle [a, b] o wartościach zespolonych, całkowalnych w drugiej potędze. Iloczyn skalarny elementów f i g tej przestrzeni definiuje się wzorem

\langle f, g \rangle = \int\limits_a^b f(t) \overline{g(t)} \mathrm dt.

W przypadku, gdy [a, b] = [-\pi, \pi],, to rodzina funkcji

\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{\sin nx}{\sqrt \pi}, \frac{\cos nx}{\sqrt \pi}\colon n\in \mathbb N\right\}

jest przykładem układu ortogonalnego. Inne przykłady ortogonalnych układów funkcji to np. wielomiany Legendre'a czy wielomiany Czebyszewa.

Przypisy

  1. Roman Ger: Orthogonalities in linear spaces and difference operators, Aequationes Mathematicae Volume 60, Number 3, 268-282, DOI:10.1007/s000100050153

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]