Ortogonalność

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy pojęcia matematycznego. Zobacz też: ortogonalność grup ochronnych w chemii.

Ortogonalność (z gr. ortho – prosto, prosty, gonia – kąt) – uogólnienie pojęcia prostopadłości znanego z geometrii euklidesowej na abstrakcyjne przestrzenie z określonym iloczynem skalarnym, jak np. przestrzenie unitarne (w tym przestrzenie Hilberta) czy przestrzenie ortogonalne. Pojęcie ortogonalności bywa uogólnianie również na przestrzenie unormowane w których nie ma naturalnej struktury iloczynu skalarnego (ortogonalność w sensie Pitagorasa, ortogonalność w sensie Jamesa, ortogonalność w sensie Birkhoffa, T-ortogonalność)[1].

Definicja[edytuj]

Elementy i przestrzeni unitarnej z iloczynem skalarnym nazywa się ortogonalnymi, gdy

Relację zapisuje się symbolicznie . Podzbiór przestrzeni unitarnej nazywa się układem ortogonalnym, gdy każde dwa różne jego elementy są ortogonalne.

Ortogonalność wektorów w przestrzeni trójwymiarowej[edytuj]

Długość wektora w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej wyraża się wzorem

.

Jeżeli i są wektorami z przestrzeni trójwymiarowej, to długość wektora wynosi

Liczby są długościami boków trójkąta , gdzie .

Trójkąt prostokątny o bokach

Wektory są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy trójkąt jest prostokątny, a to jest równoważne na mocy prostego i odwrotnego twierdzenia Pitagorasa zależności:

tzn.

Zastosowanie wzoru na kwadrat różnicy do powyższej równości implikuje równość

,

która upraszcza się do wyrażenia

.

Lewa strona powyższej równości pokrywa się ze wzorem na iloczyn skalarny wektorów i w przestrzeni trójwymiarowej.

Przykłady[edytuj]

Przestrzenie euklidesowe
 Zobacz też: przestrzeń euklidesowa.

Wektory i na płaszczyźnie są ortogonalne (prostopadłe), ponieważ

.

Wektor zerowy jest ortogonalny do każdego wektora.

Przestrzenie funkcyjne

Ortogonalność pojawia się również w kontekście przestrzeni funkcyjnych, w których określony jest pewien iloczyn skalarny. Z tego powodu mówi się często o funkcjach ortogonalnych, czy wielomianach ortogonalnych. Klasycznym przykładem jest przestrzeń , tj. przestrzeń wszystkich funkcji, określonych na przedziale o wartościach zespolonych, całkowalnych w drugiej potędze. Iloczyn skalarny elementów i tej przestrzeni definiuje się wzorem

W przypadku, gdy , to rodzina funkcji

jest przykładem układu ortogonalnego. Inne przykłady ortogonalnych układów funkcji to np. wielomiany Legendre'a czy wielomiany Czebyszewa.

Przypisy

  1. Roman Ger: Orthogonalities in linear spaces and difference operators, Aequationes Mathematicae Volume 60, Number 3, 268-282, DOI:10.1007/s000100050153

Zobacz też[edytuj]