Całka Riemanna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Całka jako „zorientowane pole pod wykresem”: wartością całki z rzeczywistej funkcji na przedziale jest pole powierzchni obszarów zaznaczonych na niebiesko pomniejszone o pole obszaru oznaczonego kolorem żółtym.

Całka Riemanna – konstrukcja analizy matematycznej przedstawiona przez niemieckiego matematyka Bernharda Riemanna w 1854 roku w jego pracy habilitacyjnej na Uniwersytecie w Getyndze pt. Ueber die Darstellbarkeit einer Funktion durch eine trigonometrische Reihe („O reprezentowalności funkcji przez szereg trygonometryczny”) jako pierwsza ścisła definicja całki. Istnieje również całkowicie równoważna całce Riemanna konstrukcja całki Darboux, pochodząca od francuskiego matematyka Gastona Darboux, który wprowadził ją w swojej pracy z 1870 roku zatytułowanej Sur les équations aux dérivées partielles du second ordre („O równaniach różniczkowych cząstkowych drugiego rzędu”) i uzasadnił jej równoważność z całką Riemanna w 1875 roku w pracy pt. Mémoire sur la theorie des fonctions discontinues („Rozprawa o teorii funkcji nieciągłych”).

Głównymi zaletami całki Riemanna są intuicyjność, klarowność definicji i stosunkowa łatwość wprowadzenia wystarczające częstokroć do większości zastosowań praktycznych; konstrukcja Darboux wymaga nieco mniejszej liczby pojęć niezbędnych do jej przeprowadzenia, przez co stanowi atrakcyjną alternatywę dla konstrukcji Riemanna. Do zasadniczych wad tych całek należy względnie mała ilość funkcji całkowalnych, czy konieczność zbieżności jednostajnej ciągu funkcji przy zamianie operatorów granicy i całki[a], co znacząco zawęża zakres zastosowań teoretycznych. Istnieje wiele uogólnień tego pojęcia mających na celu pokonanie różnorakich jego ograniczeń.

W swej interpretacji geometrycznej na płaszczyźnie całka to operator przypisujący danej rzeczywistej funkcji ograniczonej określonej na przedziale (rzeczywistym) pewną liczbę rzeczywistą, którą można rozumieć jako pole powierzchni między jej wykresem a osią odciętych (pole zorientowane: jego znak zależy od znaku wartości funkcji) – istnienie i wartość tej liczby jest równoważne istnieniu i wartości tzw. miary Jordana wspomnianego obszaru (zob. Związek z miarą Jordana). Sama całka Riemanna, podobnie jak miara Jordana, uogólnia się wprost na przestrzenie euklidesowe dowolnego wymiaru, co opisano w osobnej sekcji.

Konstrukcje[edytuj]

Przykładowa suma Riemanna z zaznaczonym nieregularnym podziałem z punktami pośrednimi; podprzedział o największej średnicy zaznaczono kolorem czerwonym.
 Osobne artykuły: granica ciąguszereg.

Podział przedziału[edytuj]

Podziałem przedziału nazywa się każdy (ściśle) rosnący ciąg skończony elementów nazywanych punktami podziału tego przedziału, w którym pierwszy i ostatni wyraz ciągu wskazują odpowiednio początek i koniec przedziału, tzn. W każdym z podprzedziałów podziału można wyróżnić jeden element, nazywany punktem pośrednim: podział z punktami pośrednimi przedziału można zdefiniować jako ciąg skończony dla którego oraz dla Każda para „sąsiednich” punktów podziału wyznacza podprzedział o długości dla

Podział rozdrabnia (lub zagęszcza) podział jeżeli podział jest podciągiem podziału tzn. dla każdego można wybrać tak, że Podobnie definiuje się rozdrobnienie (bądź zagęszczenie) podziału przez podział z jedynym zastrzeżeniem, by tak stare, jak i nowe punkty pośrednie należały do nowych podprzedziałów; tzn. dla każdego można było tak wybrać by oraz

Równoważnie zamiast rozdrobnień (zagęszczeń) podziałów można rozpatrywać tzw. „ciągi normalne” podziałów. Średnicą podziału nazywa się największą długość przedziału, Ciąg podziałów nazywa się normalnym, jeżeli dla

Całka Darboux[edytuj]

Sumy dolna i górna Darboux oznaczone odpowiednio kolorami zielonym i zielonym z lawendowym dla czterech podprzedziałów.

Niech dana będzie funkcja ograniczona Kresy dolny i górny funkcji w danym podprzedziale podziału przedziału oznaczane będą odpowiednio symbolami

różnicę tych liczb

nazywa się oscylacją funkcji na przedziale

Odpowiednio sumą dolną i górną (Darboux) nazywa się liczby

Wielkości te umożliwiają zdefiniowanie całki dolnej i górnej (Darboux) funkcji jako odpowiednio

oraz

O funkcji mówi się, że jest całkowalna w sensie Darboux lub krótko D-całkowalną, jeżeli wówczas tę wspólną wartość całki dolnej i górnej Darboux nazywa się po prostu całką Darboux.

Całka Riemanna[edytuj]

Przykład sum Riemanna przy wyborze punktu pośredniego w prawym końcu podprzedziału (niebieski), w wartości minimalnej (czerwony) i maksymalnej (zielony) funkcji w podprzedziale i lewego końca podprzedziału (żółty). Wartość wszystkich czterech przypadków zbliża się do 3,76 przy powiększaniu liczby podprzedziałów od 2 do 10 (w domyśle, również nieograniczenie).

Niech dana będzie funkcja ograniczona Sumą częściową (Riemanna) nazywa się liczbę

Funkcję nazywa się całkowalną w sensie Riemanna lub krótko R-całkowalną, jeśli dla dowolnego ciągu normalnego podziałów przedziału istnieje (niezależna od wyboru punktów pośrednich) granica[b]

nazywana wtedy całką Riemanna tej funkcji. Równoważnie: jeżeli istnieje taka liczba że dla dowolnej liczby rzeczywistej istnieje taka liczba rzeczywista że dla dowolnego podziału o średnicy bądź też w języku rozdrobnień: że dla dowolnej liczby rzeczywistej istnieje taki podział przedziału że dla każdego podziału rozdrabniającego zachodzi

Funkcję nazywa się wtedy całkowalną w sensie Riemanna (R-całkowalną), a liczbę jej całką Riemanna.

Równoważność[edytuj]

Po rozdrobnieniu podziału suma dolna zwiększa się, zaś suma górna zmniejsza się.

Jeżeli jest rozdrobnieniem to oraz Jeżeli są dwoma podziałami przedziału to istnieją ich rozdrobnienia (podział złożony z punktów i ), mamy więc , skąd

Sumy Riemanna funkcji zawsze leżą między odpowiadającymi im dolnymi i górnymi sumami Darboux, tzn. dla podziału z punktami pośrednimi i odpowiadającego mu podziału bez punktów pośrednich odcinka zachodzi

więcej, są to kresy dolne i górne wartości odpowiadającej podziałowi z dowolnymi punktami pośrednimi[c].

Stąd jeżeli całka Darboux istnieje, tzn. to istnieje również tak więc

dla dowolnego podziału pociąga całkowalność w sensie Riemanna. Nietrudno zauważyć, że istnieje podział z punktami pośrednimi, dla którego całka Riemanna ma wartość dowolnie bliską górnej i dolnej całce Darboux, co oznacza że z istnienia całki Riemanna wynika istnienie całki Darboux.

Oznaczenia[edytuj]

Różne warianty typograficzne znaku całki – od lewej do prawej: symbolu pochylonego w prawo używa się przede wszystkim w krajach anglojęzycznych, symbol prosty pojawia się w publikacjach Europy Środkowej, symbol pochylony w lewo należy do tradycji rosyjskiej; w polskiej literaturze można spotkać każdy z wariantów.

Symbol całki powstał z minuskuły ſ (tzw. „długiego s”)[d] używanej przez Gottfrieda Leibniza w łacińskim słowie summa, oznaczającym sumę, które pisał on ſumma. Dla funkcji całki Darboux górną i dolną oznacza się zwykle odpowiednio symbolami

zaś samą całkę Darboux oraz całkę Riemanna dodając przed nimi pierwszą literę nazwiska w nawiasie,

Ze względu na równoważność tych konstrukcji zwykle mówi się wyłącznie o całce Riemanna, przy czym zwykle pomija się oznaczenie literowe, jeżeli nie prowadzi to do nieporozumień:

Własności[edytuj]

Przedstawienie ciągu sum częściowych Riemanna; liczby w prawym górnym rogu są polami obszaru szarych prostokątów – można zauważyć, że zbiegają one do ustalonej liczby równej całce funkcji.

Niech dla dowolnej funkcji R-całkowalnej gdzie będą dane jej kresy dolny i górny oraz kres górny wartości bezwzględnej:

Wówczas[e]

skąd też[f]

zaś dla funkcji spełniającej dla wszystkich zachodzi[g]

Całka Riemanna jest operatorem liniowym na przestrzeni funkcji całkowalnych w sensie Riemanna: jeżeli są R-całkowalne oraz to funkcja również jest całkowalna w sensie Riemanna i zachodzi[h]

Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego[edytuj]

Jeśli jest całkowalna w sensie Riemanna, to jest ona całkowalna na dla dowolnego a funkcja dana wzorem

jest ciągła na i różniczkowalna w każdym punkcie ciągłości funkcji

Twierdzenie Newtona-Leibniza[edytuj]

Jeśli jest ciągła, a jest jej dowolną funkcją pierwotną, to zachodzi tzw. wzór Newtona-Leibniza,

Dowód

Pole powierzchni zawarte pomiędzy wykresem funkcji a osią odciętych na przedziale dzielimy na równych części, przy czym jest nieskończenie duże, czyli . W ten sposób przedział zostaje podzielony na ciąg złożony z nieskończenie małych odcinków, z których każdy ma tę samą szerokość równą różniczce . Współrzędne tych odcinków tworzą ciąg: , przy czym . Wynika stąd, że:

W rezultacie otrzymujemy nieskończenie cienkie prostokąty o wymiarach dla będące kolejnymi różniczkami pola powierzchni. Definicja pochodnej funkcji w punkcie :

Dzieląc przedział funkcji identycznie, jak dla funkcji , powyższą definicję można zapisać następująco:

Funkcja pierwotna funkcji to taka funkcja , której pochodną jest funkcja .

Wynika stąd, że:

Całkowite pole powierzchni jest więc równe sumie pól powierzchni wszystkich otrzymanych prostokątów.

Podkreślone wyrazy, czyli różniczki , upraszczają się.

Podkreślone wyrazy upraszczają się. Nietrudno jest zorientować się, że tym sposobem uproszczą się wszystkie wyrazy, z wyjątkiem i . Ostatecznie pole powierzchni jest więc równe:

co należało udowodnić.

Charakteryzacja funkcji całkowalnych[edytuj]

Z równoważności konstrukcji funkcja jest całkowalna w sensie Riemanna wtedy i tylko wtedy, gdy jest całkowalna w sensie Darboux; w tej części artykułu funkcje całkowalne na jeden z tych dwóch sposobów będą nazywane po prostu funkcjami całkowalnymi. Niech dana będzie funkcja Każda funkcja ciągła jest całkowalna[i]; podobnie, gdy jest monotoniczna[j].

Dokładnego wskazania klasy funkcji całkowalnych można dokonać za pomocą teorii miary; nie mniej funkcje te można opisać definiując pojęcie nieodwołujące się do ogólnej teorii: zbiór nazywa się zaniedbywalnym[k] wtedy i tylko wtedy, gdy można pokryć go (co najwyżej) przeliczalną liczbą dowolnie krótkich odcinków, tzn. dla każdego istnieje (co najwyżej) przeliczalny ciąg przedziałów spełniający oraz Przykładami takich zbiorów są np. punkt, tj. zbiór jednoelementowy, dowolne zbiory skończone lub przeliczalne; kontrprzykładamiodcinek, czyli przedział, bądź dowolny zbiór otwarty.

Twierdzenie: Funkcja ograniczona określona na przedziale domkniętym jest całkowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest prawie wszędzie ciągła, tzn. zbiór jej nieciągłości jest zaniedbywalny.

Zatem jest ona tym bardziej całkowalna, gdy ma (co najwyżej) przeliczalny zbiór nieciągłości; w szczególności, gdy jest ciągła (zob. wyżej). Wprost stąd wynika, że wartość bezwzględna funkcji całkowalnej jest również całkowalna. Podobnie iloczyn (określony punktowo) dwóch funkcji całkowalnych również jest funkcją całkowalną. Jeżeli ciąg funkcji całkowalnych jest jednostajnie zbieżny do funkcji to jest ona całkowalna oraz

Całka wielokrotna[edytuj]

 Osobne artykuły: całka wielokrotnacałka iterowana.
„Objętość pod powierzchnią” jako uogólnienie intuicji „pola pod krzywą”.
 Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

Związek z miarą Jordana[edytuj]

 Osobny artykuł: miara Jordana.
 Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

Uogólnienia[edytuj]

Różnica ideowa między całką Riemanna/Darboux a całką Lebesgue'a: w pierwszej wprowadza się podział dziedziny, w drugiej – przeciwdziedziny funkcji.

Jako pierwsza formalnie zdefiniowana, całka Riemanna jest prototypem wszystkich innych całek, choć konstrukcje wielu z nich są daleko bardziej ogólne, niż przedstawione wyżej; nie mniej zwykle wymaga się, by dane uogólnienie całki dawało dla funkcji całkowalnej w sensie Riemanna/Darboux ten sam wynik, co całka Riemanna/Darboux nazywana dalej po prostu całką Riemanna. Pełniejszą listę całek można znaleźć w osobnym artykule.

Całka Riemanna–Stieltjesa[edytuj]

 Osobny artykuł: całka Riemanna-Stieltjesa.

Zastąpienie w definicji całki Riemanna końców podprzedziałów danego podziału za pomocą ich obrazów w pewnej funkcji prowadzi do uogólnienia znanego jako całka Riemanna–Stieltjesa; dla dość szerokiej klasy funkcji jest ona równa całce Riemanna, jednak w ogólności może dawać ona różne od niej wyniki. Wykazuje ona duży związek z całkowaniem przez podstawienie znajdując zastosowanie w rachunku prawdopodobieństwa (zbudowanym w oparciu o tę całkę).

Całki Lebesgue'a, Daniella–Stone'a, Lebesgue'a–Stieltjesa[edytuj]

Ważnym uogólnieniem całki Riemanna jest całka Lebesgue'a, która jest równoważna z tzw. całką Daniella–Stone'a: funkcja całkowalna w sensie Riemanna jest też całkowalna w sensie Lebesgue'a (Daniella–Stone'a), a ponadto wartości obu całek wtedy są równe. Przykładem funkcji, która jest całkowalna w sensie Lebesgue'a (Daniella–Stone'a), a nie jest całkowalna w sensie Riemanna jest funkcja Dirichleta. Dalszym uogólnieniem, łączącym w sobie zalety całki Lebesgue'a i Riemanna–Stieltjesa, jest całka Lebesgue'a–Stieltjesa nazywana również całką Lebesgue'a–Radona lub po prostu całką Radona.

Całka niewłaściwa pozwala na obliczenie pola pod wykresem funkcji nieograniczonej na przedziale ograniczonym i funkcji ograniczonej na przedziale nieograniczonym.

Całka niewłaściwa[edytuj]

 Osobny artykuł: całka niewłaściwa.

W każdej z powyższych konstrukcji problematyczne bywa całkowanie funkcji na przedziale otwartym, w szczególności gdy funkcja jest nieograniczona przy jednym z jego końców. Mówiąc o całce niewłaściwej, definiowanej jako granica całek określonych na przedziale domkniętym, którego jeden koniec dąży do końca przedziału otwartego, ma się zwykle na myśli uogólnienie całki Riemanna. Nie mniej możliwe jest analogiczne uogólnienie całki Lebesgue'a. Rozpatrywanie całki niewłaściwej dla opisanej niżej całki Henstocka–Kurzweila nie ma sensu, gdyż standardowa wersja tej całki daje ten sam wynik, o czym mówi twierdzenie Hake'a. Oddzielnym zagadnieniem całki niewłaściwe są tzw. przedziały niewłaściwe, tzn. których końce nie muszą być liczbami rzeczywistymi.

Całka Henstocka–Kurzweila[edytuj]

 Osobny artykuł: całka Henstocka-Kurzweila.

Całka Henstocka–Kurzweila znana również jako całka Denjoy, czy Perrona (albo Denjoy–Perrona) jest pewnym uogólnieniem całki Riemanna o konstrukcji znacząco od niej nieodbiegającej. W ogólności teoria Henstocka-Kurzweila umożliwia całkowanie wszystkich funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue'a oraz funkcji całkowalnych w sposób niewłaściwy w sensie Riemanna, co uważane jest za jej główną zaletę. Istnieje drobna modyfikacja całki Henstocka–Kurzweila, znana jako całka McShane'a, która jest równoważna konstrukcji Lebesgue'a – ma ona tym samym wszystkie jej zalety, a jej definicja nie wymaga przy tym ogólnego aparatu teorii miary.

Linki zewnętrzne[edytuj]

Uwagi

  1. W przeciwieństwie do np. całki Lebesgue'a, czy całki Henstocka-Kurzweila (zob. Uogólnienia), które przy dość łagodnych założeniach dodatkowych umożliwiają zamianę granicy z całką przy zbieżności punktowej ciągu funkcyjnego (por. twierdzenia Lebesgue'a i lemat Fatou).
  2. Jeżeli dla każdego ciągu normalnego przedziałów odpowiednie sumy Riemanna są zbieżne, to są one zbieżne to jednej i tej samej granicy. Niech oraz będą dwoma normalnymi ciągami podziałów przedziału Ciąg podziałów zdefiniowany jako jest normalny, a ponieważ funkcja jest całkowalna w sensie Riemanna, więc granica istnieje i nie zależy od wyboru punktów pośrednich. Zatem dla podciągów i granice muszą być takie same (dowolny podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy), więc
  3. Niech wyznaczając tak, by otrzymuje się co z dowolności oraz oszacowania pociąga tezę dla kresu górnego; podobnie dowodzi się, że jest kresem dolnym
  4. Zob. również tzw. „esz” ʃ.
  5. Dla dowolnego podziału oraz dowolnej sumy zachodzi (), zatem gdyż
  6. Wynika wprost z powyższego na mocy nierówności
  7. Wynika wprost z powyższego, gdyż
  8. Addytywność wynika stąd, iż dla ustalonego podziału zachodzi równość sum częściowych która wraz ze zbieżnością sum po prawej stronie pociąga zbieżność sum po lewej stronie będących odpowiednio całką Riemanna z sumy funkcji oraz sumą całek Riemanna z funkcji i Podobnie dowodzi się jednorodności
  9. Funkcja jest jednostajnie ciągła (jako określona na przedziale domkniętym) wynika, że dla dowolnego istnieje podział odcinka o oscylacjach (); stąd zatem funkcja jest D-całkowalna.
  10. Niech dla ustalenia uwagi funkcja będzie niemalejąca; jeśli jest podziałem spełniającym dla dowolnie wybranego to (), czyli skąd wynika D-całkowalność funkcji
  11. Dowodzi się, że zbiory zaniedbywalne w powyższym sensie odpowiadają dokładnie tzw. zbiorom miary Lebesgue'a zero, tzn. zbiorom, których miara Lebesgue'a jest równa zeru.