Zasada Cavalieriego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Caval1.jpg
Fragmenty pracy Cavalieriego Geometria indivisibilibus quadam ratione promota

Zasada Cavalieriego[1] – metoda obliczania objętości brył przestrzennych, odkryta przez Archimedesa i opisana ponownie przez XVII-wiecznego matematyka włoskiego, Bonaventurę Cavalieriego. Obecnie uogólniona na wielowymiarową miarę Lebesgue'a oraz abstrakcyjne przestrzenie z miarą produktową. Zasada Cavalieriego, w swoim oryginalnym sformułowaniu, mówi że:

Jeśli dwie bryły mają tę własność, że ich przekroje wszystkimi płaszczyznami równoległymi do jednej, z góry ustalonej płaszczyzny, mają te same pola, to te bryły mają równe objętości.

Twierdzenie to zwykle wystarcza do obliczania objętości znanych brył, jak np. stożek czy elipsoida, jednak może być w naturalny sposób uogólnione na język współczesnej matematyki.

Wstępne definicje[edytuj]

Niech będą takimi liczbami naturalnymi, że . Wówczas można dokonać utożsamienia:

.

Niech oraz oznacza element przestrzeni . Zbiory

  • ,

nazywane są, odpowiednio, cięciem górnym (wzdłuż punktu i cięciem dolnym (wzdłuż punktu ) zbioru .

Niech ponadto

  • ,
  • .

tzn. rzutowaniami zbioru na przestrzenie, odpowiednio, i . Symbolami oznaczane tu będą σ-ciała zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a względem, odpowiednio, -, - i -wymiarowej miary Lebesgue'a .

Zasada Cavalieriego[edytuj]

Jeśli , to

  • dla prawie wszystkich zbiór jest mierzalny w sensie -wymiarowej miary Lebesgue'a,
  • funkcja jest mierzalna

Jeżeli ponadto, , to

.

Komentarze[edytuj]

  • Cięcia są mierzalne dla prawie wszystkich . Jest to konsekwencją faktu, iż σ-ciało produktowe jest zawarte w sposób właściwy w , tzn. istnieją takie zbiory postaci , gdzie , że zbiór lub zbiór nie jest mierzalny względem odpowiedniego σ-ciała.
  • Zasadę Cavalieriego używa się często do dowodu twierdzenia Fubiniego - z drugiej strony, jeżeli dowód twierdzenia Fubiniego prowadzony jest bez jej to użycia, to wtedy można uznać ją za wniosek tego twierdzenia.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. odmieniamy Cavalier i ego, patrz Słownik Ortograficzny PWN.

Bibliografia[edytuj]

  1. Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979.
  2. Krzysztof Maurin: Analiza - Część I - Elementy. Warszawa: PWN, 1976.