Zasada Cavalieriego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Caval1.jpg
Fragmenty pracy Cavalieriego Geometria indivisibilibus quadam ratione promota

Zasada Cavalieriego[1] – metoda obliczania objętości brył przestrzennych, odkryta przez Archimedesa i opisana ponownie przez XVII-wiecznego matematyka włoskiego, Bonaventurę Cavalieriego. Obecnie uogólniona na wielowymiarową miarę Lebesgue’a oraz abstrakcyjne przestrzenie z miarą produktową. Zasada Cavalieriego, w swoim oryginalnym sformułowaniu, mówi że:

Jeśli dwie bryły mają tę własność, że ich przekroje wszystkimi płaszczyznami równoległymi do jednej, z góry ustalonej płaszczyzny, mają te same pola, to te bryły mają równe objętości.

Twierdzenie to zwykle wystarcza do obliczania objętości znanych brył, jak np. stożek czy elipsoida, jednak może być w naturalny sposób uogólnione na język współczesnej matematyki.

Wstępne definicje[edytuj | edytuj kod]

Niech będą takimi liczbami naturalnymi, że Wówczas można dokonać utożsamienia:

Niech oraz oznacza element przestrzeni Zbiory

nazywane są, odpowiednio, cięciem górnym (wzdłuż punktu ) i cięciem dolnym (wzdłuż punktu ) zbioru

Niech ponadto

tzn. rzutowaniami zbioru na przestrzenie, odpowiednio, i Symbolami oznaczane tu będą σ-ciała zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a względem, odpowiednio, i -wymiarowej miary Lebesgue’a

Zasada Cavalieriego[edytuj | edytuj kod]

Jeśli to

  • dla prawie wszystkich zbiór jest mierzalny w sensie -wymiarowej miary Lebesgue’a,
  • funkcja jest mierzalna,

Jeżeli ponadto, to

Komentarze[edytuj | edytuj kod]

  • Cięcia są mierzalne dla prawie wszystkich Jest to konsekwencją faktu, iż σ-ciało produktowe jest zawarte w sposób właściwy w tzn. istnieją takie zbiory postaci gdzie że zbiór lub zbiór nie jest mierzalny względem odpowiedniego σ-ciała.
  • Zasadę Cavalieriego używa się często do dowodu twierdzenia Fubiniego – z drugiej strony, jeżeli dowód twierdzenia Fubiniego prowadzony jest bez jej to użycia, to wtedy można uznać ją za wniosek tego twierdzenia.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Odmieniamy Cavalier i ego, patrz Słownik Ortograficzny PWN.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979.
  • Krzysztof Maurin: Analiza. Część I. Elementy. Warszawa: PWN, 1976.