Zbiór stacjonarny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Zbiór stacjonarny (cluby) – podzbiór liczb kardynalnych (traktowanych jako liczby porządkowe) które są w pewnym sensie duże.

Nazwa club jest skrótem angielskiego terminu closed and unbounded. Niektórzy autorzy używają też nazwy c.u.b. (taka nazwa używana jest m.in. w monografii Kunena[1])

Definicje formalne[edytuj]

Niech będzie nieprzeliczalną regularną liczbą kardynalną (która będziemy traktować jako początkową liczbę porządkową).

  • Powiemy, że zbiór jest domknięty jeśli jest on domknięty w topologii porządkowej na , który to warunek jest równoważny stwierdzeniu, że dla każdej granicznej liczby mamy
.
  • Zbiór jest nieograniczony w jeśli .
  • Powiemy, że zbiór jest clubem w jeśli jest on zarówno domknięty jak i nieograniczony.
  • Zbiór jest stacjonarnym podzbiorem , jeśli dla każdego domkniętego nieograniczonego (tzn cluba) zbioru .
  • Zbiór jest niestacjonarnym podzbiorem , jeśli S nie jest stacjonarny, czyli gdy dla pewnego cluba .

Własności i przykłady[edytuj]

Niech będzie nieprzeliczalną regularną liczbą kardynalną.

  • Zbiór wszystkich granicznych liczb porządkowych mniejszych niż jest clubem, podobnie jak i zbiór wszystkich granic liczb granicznych.
  • Zbiór wszystkich granicznych liczb porządkowych o przeliczalnej współkońcowości jest stacjonarnym podzbiorem .
  • Dla każdej funkcji, zbiór jest clubem w .
  • Jeśli jest rodziną clubów na , , to przekrój też jest clubem.
  • Z powyższej obserwacji wynika, że rodzina
dla pewnego cluba
jest -zupełnym filtrem podzbiorów .
Rodzina wszystkich niestacjonarnych podzbiorów tworzy -zupełny ideał podzbiorów .
  • Lemat Fodora mówi, że jeśli S jest stacjonarnym podzbiorem oraz jest funkcją taką że , to funkcja f jest stała na pewnym stacjonarnym podzbiorze zbioru S. (Odwrotnie, jeśli S jest niestacjonarnym podzbiorem , to istnieje funkcja taka że która nie jest stała na żadnym nieograniczonym podzbiorze zbioru S.)

Przypisy

  1. Kunen, Kenneth. Set theory. An introduction to independence proofs. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 102. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York, 1980. xvi+313 pp. ISBN 0-444-85401-0

Zobacz też[edytuj]