Zbiór stacjonarny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Zbiory domknięte nieograniczone (club) – rodzina podzbiorów liczby kardynalnej (traktowanej jako liczba porządkowa) zawierająca zbiory w pewnym sensie duże.

Nazwa club jest skrótem angielskiego terminu closed and unbounded. Niektórzy autorzy używają też nazwy c.u.b. (taka nazwa używana jest m.in. w monografii Kunena[1])

Definicje formalne[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie nieprzeliczalną regularną liczbą kardynalną (która będziemy traktować jako początkową liczbę porządkową).

  • Powiemy, że zbiór jest domknięty jeśli jest on domknięty w topologii porządkowej na , który to warunek jest równoważny stwierdzeniu, że dla każdej granicznej liczby mamy
.
  • Zbiór jest nieograniczony w jeśli .
  • Powiemy, że zbiór jest clubem w jeśli jest on zarówno domknięty jak i nieograniczony.
  • Zbiór jest stacjonarnym podzbiorem , jeśli dla każdego domkniętego nieograniczonego (tzn cluba) zbioru .
  • Zbiór jest niestacjonarnym podzbiorem , jeśli S nie jest stacjonarny, czyli gdy dla pewnego cluba .

Własności i przykłady[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie nieprzeliczalną regularną liczbą kardynalną.

  • Zbiór wszystkich granicznych liczb porządkowych mniejszych niż jest clubem, podobnie jak i zbiór wszystkich granic liczb granicznych.
  • Zbiór wszystkich granicznych liczb porządkowych o przeliczalnej współkońcowości jest stacjonarnym podzbiorem .
  • Dla każdej funkcji, zbiór jest clubem w .
  • Jeśli jest rodziną clubów na , , to przekrój też jest clubem.
  • Z powyższej obserwacji wynika, że rodzina
dla pewnego cluba
jest -zupełnym filtrem podzbiorów .
Rodzina wszystkich niestacjonarnych podzbiorów tworzy -zupełny ideał podzbiorów .
  • Lemat Fodora mówi, że jeśli S jest stacjonarnym podzbiorem oraz jest funkcją taką że , to funkcja f jest stała na pewnym stacjonarnym podzbiorze zbioru S. (Odwrotnie, jeśli S jest niestacjonarnym podzbiorem , to istnieje funkcja taka że która nie jest stała na żadnym nieograniczonym podzbiorze zbioru S.)

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Kunen, Kenneth. Set theory. An introduction to independence proofs. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 102. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York, 1980. xvi+313 pp. ​ISBN 0-444-85401-0

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]