Przestrzeń zdarzeń elementarnych

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Zdarzenie elementarne)
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przestrzeń zdarzeń elementarnych (zbiór zdarzeń elementarnych, przestrzeń próbek losowych) - to zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia losowego; wyniki te nazywa się zdarzeniami elementarnymi.

Pojęcie zbioru zdarzeń elementarnych należy do podstawowych w rachunku prawdopodobieństwa.Tradycyjnie zbiór ten oznacza się litrą \Omega.

Zbiór zdarzeń elementarnych stanowi jeden z trzech elementów modelu probabilistycznego opisującego dane doświadczenie losowe. Pozostałymi elementami są: zbiór zdarzeń losowych \mathcal{F} (tj. mierzalnych podzbiorów \Omega , które tworzą tzw. σ-ciało[1]) oraz miara probabilistyczna P (prawdopodobieństwo) przypisana do każdego zdarzenia losowego.

Zbiór zdarzeń elementarnych \Omega uzupełniony o σ-ciało \mathcal{F} tworzy parę (\Omega,\mathcal{F}) zwaną przestrzenią mierzalną. Przestrzeń mierzalna (\Omega,\mathcal{F}) uzupełniona o miarę probabilistyczną tworzy trójkę (\Omega,\mathcal{F},P) zwaną przestrzenią probabilistyczną.

Pomiędzy zdarzeniami elementarnymi a zdarzeniami losowymi istnieje istotna różnica: pierwsze są pojedynczymi elementami \omega_i zbioru zdarzeń elementarnych (czyli \omega_i\in\Omega ), natomiast drugie są podzbiorami zbioru zdarzeń elementarnych - mogą więc zawierać wiele zdarzeń elementarnych, np. zdarzenie A=\{\omega_i: \omega_i\in\Omega\}.

Przykłady[edytuj]

  • Rzut jedną monetą: zbiorem zdarzeń elementarnych jest zbiór \Omega = { Orzeł, Reszka }, przy czym zdarzeniami elementarnymi są Orzeł oraz Reszka.
  • Rzut dwiema monetami: zbiór zdarzeń elementarnych ma postać par uporządkowanych \Omega = { (O, O), (O, R), (R, O), (R,R) }, gdzie oznaczono: O = orzeł oraz R = reszka (na 1-szym miejscu notujemy wyniki rzutu 1-szą monetą, a na 2-gim miejscu wyniki rzutu 2-gą monetą).
  • Rzut n monet: zbiór zdarzeń elementarnych tworzą n-ki uporządkowane, w których poszczególne elementy mogą przyjmować wartości O lub R.
  • Rzut pojedynczą kostką: zbiór zdarzeń elementarnych tworzą liczby oczek, jakie można otrzymać w pojedynczym rzucie, tj. \Omega^1=\{1,2,3,4,5,6\}.
  • Rzut dwiema kostkami: zbiór zdarzeń elementarnych tworzą pary liczb oczek, jakie można otrzymać w pojedynczym rzucie na każdej z kostek, tj. \Omega^2=\{(1, 1),(1, 2),...,(1, 6), (2, 1),(2, 2), .., (6, 6)\}. Zbiór zdarzeń elementarnych jest więc iloczynem kartezjańskim zbioru \Omega^1, tj. \Omega^2=\Omega^1\times \Omega^1

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Wymóg mierzalności jest konieczny, aby było możliwe przypisanie zdarzeniom prawdopodobieństw w sposób spójny. Wymóg mierzalności implikuje, że możliwe zdarzenia muszą tworzyć sigma-ciało na  \Omega .

Bibliografia[edytuj]

  • W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach. T. 1. Rachunek prawdopodobieństwa. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1999, s. 7. ISBN 83-01-05928-1.