Wikipedysta:Kazimirwp7/Teoria śruby

Robert Ball, autor traktatów o teorii śrub w latach 1876 i 1900.

Teoria śrub to algebraiczne obliczanie par wektorów, takich jak siły i momenty lub prędkości kątowe i liniowe, które pojawiają się w kinematyce i dynamice ciał sztywnych. Matematyczne ramy zostały opracowane przez Roberta Stawella Balla w 1876 roku do zastosowania w kinematyce i statyce mechanizmów (mechanika ciał sztywnych)

Teoria śrub dostarcza matematycznego opisu dla geometrii linii, która jest centralna dla dynamiki ciała sztywnego, gdzie linie tworzą osie śrubowe ruchu przestrzennego i linie działania sił. Para wektorów tworzących współrzędne Plückera linii definiuje śrubę jednostkową, a śruby ogólne otrzymuje się przez mnożenie przez parę liczb rzeczywistych i dodawanie wektorów.

Ważnym wynikiem teorii śrub jest to, że obliczenia geometryczne dla punktów przy użyciu wektorów mają równoległe obliczenia geometryczne dla linii uzyskane przez zastąpienie wektorów śrubami. Określa się to mianem zasady przenoszenia.

Teoria śrub stała się ważnym narzędziem w mechanice robotów, projektowaniu mechanicznym, geometrii obliczeniowej i dynamice wielu ciał. Wynika to po części ze związku pomiędzy śrubami a dualnymi kwaternionami, które zostały wykorzystane do interpolacji ruchów ciał sztywnych. Na podstawie teorii śrub opracowano również efektywne podejście do syntezy typu mechanizmów równoległych (manipulatorów równoległych lub robotów równoległych).

Fundamentalne twierdzenia obejmują twierdzenie Poinsota (Louis Poinsot, 1806) i twierdzenie Chaslesa (Michel Chasles, 1832). Felix Klein widział teorię śrub jako zastosowanie geometrii eliptycznej i swojego programu z Erlangen. Opracował też geometrię eliptyczną, oraz świeże spojrzenie na geometrię euklidesową, z metryką Cayleya-Kleina. Użycie macierzy symetrycznej dla stożka i metryki von Staudta, zastosowane do śrub, zostało opisane przez Harveya Lipkina. Inni wybitni współpracownicy to Julius Plücker, W. K. Clifford, F. M. Dimentberg, Kenneth H. Hunt, J. R. Phillips.

Podstawowy

Skok czystej śruby wiąże obrót wokół osi z przesunięciem wzdłuż tej osi.

Przemieszczenie przestrzenne ciała sztywnego można określić przez obrót wokół prostej i translację wzdłuż tej samej prostej, zwane przemieszczeniem śrubowym. Jest to znane jako twierdzenie Chaslesa. Sześć parametrów definiujących przemieszczenie śrubowe to cztery niezależne składowe wektora Plückera, który określa oś śruby, wraz z kątem obrotu wokół i przesuwem liniowym wzdłuż tej linii tworzą parę wektorów zwanych śrubą. Dla porównania, sześć parametrów definiujących przemieszczenie przestrzenne można podać również za pomocą trzech kątów Eulera definiujących obrót oraz trzech składowych wektora translacji.

Śruba

Śruba jest sześciowymiarowym wektorem zbudowanym z pary trójwymiarowych wektorów, takich jak siły i momenty oraz prędkości liniowe i kątowe, które pojawiają się w badaniach przestrzennego ruchu ciał sztywnych. Składowe śruby określają współrzędne Plückera pewnej linii w przestrzeni oraz wielkości wektora wzdłuż linii i momentu wokół tej linii.

Klucz

Wektory sił i momentów, które powstają przy stosowaniu praw Newtona do ciała sztywnego, można złożyć w śrubę zwaną kluczem. Siła ma punkt przyłożenia i linię działania, dlatego określa współrzędne Plückera linii w przestrzeni i ma zerowy skok. Natomiast moment obrotowy jest czystym momentem, który nie jest związany z linią w przestrzeni i jest śrubą o nieskończonym skoku. Stosunek tych dwóch wielkości określa skok śruby.

Skręt

Skręt przedstawia prędkość ciała sztywnego jako prędkość kątową wokół osi i prędkość liniową wzdłuż tej osi. Wszystkie punkty ciała mają tę samą składową prędkości wzdłuż osi, jednak im większa odległość od osi, tym większa prędkość w płaszczyźnie prostopadłej do tej osi. Zatem pole helikoidalne utworzone przez wektory prędkości w poruszającym się ciele sztywnym spłaszcza się tym bardziej, im dalej punkty znajdują się promieniście od osi skrętu.

Punkty w ciele poddanym stałemu ruchowi śrubowemu kreślą w nieruchomej ramie spirale. Jeśli ten ruch śrubowy ma zerowy skok, to trajektorie wyznaczają okręgi, a ruch jest czystym obrotem. Jeśli ruch śrubowy ma nieskończone nachylenie, to wszystkie trajektorie są liniami prostymi w tym samym kierunku.

Algebra śrub

Niech śruba będzie uporządkowaną parą

${\mathsf {S}}=(\mathbf {S} ,\mathbf {V} ),$

gdzie S i V są trójwymiarowymi wektorami rzeczywistymi. Suma i różnica tych uporządkowanych par są obliczane składowo. Śruby są często nazywane wektorami podwójnymi .

Wprowadzamy teraz uporządkowaną parę liczb rzeczywistych â = (a, b) zwaną dualnym skalarem. Niech dodawanie i odejmowanie tych liczb będzie składowe, a mnożenie zdefiniujmy jako

$${\hat {a}}{\hat {c}}=(a,b)(c,d)=(ac,ad+bc).$$

Mnożenie śruby S = ( S , V ) przez podwójny skalar â = (a, b) jest obliczana składowo jako być,

$${\hat {a}}{\mathsf {S}}=(a,b)(\mathbf {S} ,\mathbf {V} )=(a\mathbf {S} ,a\mathbf {V} +b\mathbf {S} ).$$

Na koniec wprowadźmy iloczyny skalarne i wektorowe śrub według wzorów:

$${\mathsf {S}}\cdot {\mathsf {T}}=(\mathbf {S} ,\mathbf {V} )\cdot (\mathbf {T} ,\mathbf {W} )=(\mathbf {S} \cdot \mathbf {T} ,\,\,\mathbf {S} \cdot \mathbf {W} +\mathbf {V} \cdot \mathbf {T} ),$$

który jest podwójnym skalarem, i

$${\mathsf {S}}\times {\mathsf {T}}=(\mathbf {S} ,\mathbf {V} )\times (\mathbf {T} ,\mathbf {W} )=(\mathbf {S} \times \mathbf {T} ,\,\,\mathbf {S} \times \mathbf {W} +\mathbf {V} \times \mathbf {T} ).$$

która jest śrubą. Iloczyny punktowe i krzyżowe śrub spełniają tożsamości algebry wektorowej i umożliwiają obliczenia, które są bezpośrednio równoległe do obliczeń w algebrze wektorów.

Niech skalar dualny ẑ = (φ, d) definiuje kąt dualny, wówczas z definicji nieskończonych szeregów sinusów i cosinusów wynikają zależności$\sin {\hat {z}}=(\sin \varphi ,d\cos \varphi ),\,\,\,\cos {\hat {z}}=(\cos \varphi ,-d\sin \varphi ),$, które są również skalarami dualnymi. W ogólności funkcję zmiennej dualnej definiuje się jako f(ẑ) = (f(φ), df′(φ)), gdzie f′(φ) jest pochodną f(φ).

Te definicje pozwalają uzyskać następujące wyniki:

• Śruby jednostkowe są współrzędnymi Plückera linii i spełniają zależność $|{\mathsf {S}}|={\sqrt {{\mathsf {S}}\cdot {\mathsf {S}}}}=1;$
• Niech ẑ = (φ, d) jest kątem podwójnym, gdzie φ jest kątem między osiami S i T wokół ich wspólnej normalnej, a d jest odległością między tymi osiami wzdłuż wspólnej normalnej, wtedy ${\mathsf {S}}\cdot {\mathsf {T}}=\left|{\mathsf {S}}\right|\left|{\mathsf {T}}\right|\cos {\hat {z}};$
• Niech N będzie jednostkową śrubą definiującą wspólną normalną do osi S i T oraz ẑ = (φ, d) jest podwójnym kątem między tymi osiami, to ${\mathsf {S}}\times {\mathsf {T}}=\left|{\mathsf {S}}\right|\left|{\mathsf {T}}\right|\sin {\hat {z}}{\mathsf {N}}.$

Klucz

Częstym przykładem śruby jest klucz związany z siłą działającą na ciało sztywne. Niech P będzie punktem przyłożenia siły F i niech P będzie wektorem lokalizującym ten punkt w nieruchomej ramce. Klucz W = (F, P×F) jest śrubą. Wypadkowa siła i moment uzyskane ze wszystkich sił Fi, i = 1,...,n, działających na ciało sztywne jest po prostu sumą poszczególnych kluczy Wi, czyli

${\mathsf {R}}=\sum _{i=1}^{n}{\mathsf {W}}_{i}=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {F} _{i},\mathbf {P} _{i}\times \mathbf {F} _{i}).$

Zauważmy, że przypadek dwóch równych, ale przeciwnych sił F i − F działających odpowiednio w punktach A i B daje wypadkową

${\mathsf {R}}=(\mathbf {F} -\mathbf {F} ,\mathbf {A} \times \mathbf {F} -\mathbf {B} \times \mathbf {F} )=(0,(\mathbf {A} -\mathbf {B} )\times \mathbf {F} ).$

Wynika z tego, że śruby w postaci

${\mathsf {M}}=(0,\mathbf {M} ),$

można interpretować jako czysty moment.

Skręt

Aby określić skręt ciała sztywnego, musimy rozważyć jego ruch zdefiniowany przez sparametryzowany zbiór przemieszczeń przestrzennych, D(t)=([A(t)],d(t)), gdzie [A] jest macierzą obrotu, a d wektorem translacji. Powoduje to, że punkt p, który jest ustalony we współrzędnych ciała ruchomego, śledzi krzywą P(t) w ramie nieruchomej daną przez,

$\mathbf {P} (t)=[A(t)]\mathbf {p} +\mathbf {d} (t).$

Prędkość P wynosi

$\mathbf {V} _{P}(t)=\left[{\frac {dA(t)}{dt}}\right]\mathbf {p} +\mathbf {v} (t),$

gdzie v jest prędkością początku ruchomej ramki, czyli dd/dt. Teraz podstawiamy do tego równania p =  [A^T](P − d), aby otrzymać,

$\mathbf {V} _{P}(t)=[\Omega ]\mathbf {P} +\mathbf {v} -[\Omega ]\mathbf {d} \quad {\text{or}}\quad \mathbf {V} _{P}(t)=\mathbf {\omega } \times \mathbf {P} +\mathbf {v} +\mathbf {d} \times \mathbf {\omega } ,$

gdzie ω jest wektorem prędkości kątowej, a v jest pochodną d ( t ).

Śruba

${\mathsf {T}}=({\vec {\omega }},\mathbf {v} +\mathbf {d} \times {\vec {\omega }}),\!$

jest skrętem poruszającego się ciała. Wektor V = v + d × ω to prędkość punktu w ciele, który odpowiada początkowi nieruchomej ramy.

Istnieją dwa ważne przypadki specjalne: (i) gdy d jest stałe, czyli v = 0, to skręt jest czystym obrotem wokół linii, to skręt jest

${\mathsf {L}}=(\omega ,\mathbf {d} \times \omega ),$

oraz (ii) gdy [Ω] = 0, czyli ciało się nie obraca, a jedynie ślizga w kierunku v, to skręcanie jest czystym poślizgiem podanym przez

${\mathsf {T}}=(0,\mathbf {v} ).$

Połączenia obrotowe

Dla przegubu obrotowego niech oś obrotu przechodzi przez punkt q i będzie skierowana wzdłuż wektora ω, wówczas skręt dla tego przegubu jest dany przez,

$\xi ={\begin{Bmatrix}\omega \\q\times \omega \end{Bmatrix}}.$

Połączenia pryzmatyczne

Dla przegubu pryzmatycznego niech wektor v wskazujący określa kierunek ślizgu, wtedy skręt dla przegubu jest dany przez,

$\xi ={\begin{Bmatrix}0\\v\end{Bmatrix}}.$

Transformacja współrzędnych śrub

Przekształcenia współrzędnych dla śrub łatwo zrozumieć zaczynając od przekształceń współrzędnych wektora Plückera linii, które z kolei otrzymuje się z przekształceń współrzędnych punktów na linii.

Niech przemieszczenie ciała będzie określone przez D = ([ A ], d ), gdzie [ A ] jest macierzą rotacji, a d jest wektorem translacji. Rozważmy linię w ciele zdefiniowaną przez dwa punkty p i q, która ma współrzędne Plückera ,

$${\mathsf {q}}=(\mathbf {q} -\mathbf {p} ,\mathbf {p} \times \mathbf {q} ),$$

wówczas w ramce stałej mamy przekształcone współrzędne punktu P = [A]p + d and Q = [A]q + d, co daje.

$${\begin{Bmatrix}\mathbf {Q} -\mathbf {P} \\\mathbf {P} \times \mathbf {Q} \end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&0\\DA&A\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\mathbf {q} -\mathbf {p} \\\mathbf {p} \times \mathbf {q} \end{Bmatrix}}.$$

Zatem przemieszczenie przestrzenne definiuje transformację dla współrzędnych Plückera linii, daną przez

${\begin{Bmatrix}\mathbf {Q} -\mathbf {P} \\\mathbf {P} \times \mathbf {Q} \end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&0\\DA&A\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\mathbf {q} -\mathbf {p} \\\mathbf {p} \times \mathbf {q} \end{Bmatrix}}.$

Macierz [ D ] jest macierzą skośnie symetryczną, która wykonuje operację iloczynu wektorowego, czyli [ D ] y = d × y .

Macierz 6 × 6 uzyskana z przestrzennego przemieszczenia D = ([ A ], d ) można przedstawić w podwójnej matrycy

$[{\hat {A}}]=([A],[DA]),$

która działa na śrubie s = ( s . v ) stąd,

${\mathsf {S}}=[{\hat {A}}]{\mathsf {s}},\quad (\mathbf {S} ,\mathbf {V} )=([A],[DA])(\mathbf {s} ,\mathbf {v} )=([A]\mathbf {s} ,[A]\mathbf {v} +[DA]\mathbf {s} ).$

Podwójna macierz [ Â ] = ([ A ], [ DA ]) ma wyznacznik 1 i jest nazywana podwójną macierzą ortogonalną .

Skręty jako elementy algebry Liego

Rozważmy ruch ciała sztywnego zdefiniowany przez parametryzowaną transformatę jednorodną 4x4,

${\textbf {P}}(t)=[T(t)]{\textbf {p}}={\begin{Bmatrix}{\textbf {P}}\\1\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}A(t)&{\textbf {d}}(t)\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\textbf {p}}\\1\end{Bmatrix}}.$

Ta notacja nie rozróżnia między P = (X, Y, Z, 1), i P = (X, Y, Z), co, miejmy nadzieję, jest jasne w kontekście.

Prędkość tego ruchu jest określana poprzez obliczenie prędkości trajektorii punktów w ciele,

${\textbf {V}}_{P}=[{\dot {T}}(t)]{\textbf {p}}={\begin{Bmatrix}{\textbf {V}}_{P}\\0\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {A}}(t)&{\dot {\textbf {d}}}(t)\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\textbf {p}}\\1\end{Bmatrix}}.$

Kropka oznacza pochodną względem czasu, a ponieważ p jest stałe, jej pochodna wynosi zero.

Podstaw transformację odwrotną dla p do równania prędkości, aby otrzymać prędkość P, operując na jego trajektorii P ( t ), czyli

${\textbf {V}}_{P}=[{\dot {T}}(t)][T(t)]^{-1}{\textbf {P}}(t)=[S]{\textbf {P}},$

gdzie θ oznacza parametry transformacji.

$[S]={\begin{bmatrix}\Omega &-\Omega {\textbf {d}}+{\dot {\textbf {d}}}\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\Omega &\mathbf {d} \times \omega +\mathbf {v} \\0&0\end{bmatrix}}.$

Przypomnijmy, że [Ω] to macierz prędkości kątowej. Macierz [ S ] jest elementem algebry Liego se(3) grupy Liego SE(3) przekształceń jednorodnych. Elementy składowe [ S ] są elementami składowymi śruby skręcanej iz tego powodu [ S ] jest również często nazywany skrętem.

Z definicji macierzy [ S ] możemy sformułować równanie różniczkowe zwyczajne,

$[{\dot {T}}(t)]=[S][T(t)],$

Ruch [ T ( t ) ] o stałej macierzy skrętu [ S ]. Rozwiązaniem jest macierz wykładnicza

$[T(t)]=e^{[S]t}.$

Sformułowanie to można uogólnić tak, że mając początkową konfigurację g (0) w SE( n ) i skręcenie ξ w se( n ), jednorodną transformację do nowej lokalizacji i orientacji można obliczyć za pomocą wzoru:

$g(\theta )=\exp(\xi \theta )g(0),$

gdzie θ reprezentuje parametry transformacji.

Homografia

$[q\ :\ 1]{\begin{pmatrix}z&0\\0&z^{*}\end{pmatrix}}=[qz\ :\ z^{*}]\thicksim [(z^{*})^{-1}qz\ :\ 1].$

Odwrotność dla z* to

${\frac {1}{\exp(ar-b\varepsilon r)}}=(e^{ar}e^{-br\varepsilon })^{-1}=e^{br\varepsilon }e^{-ar},$

więc homografia wysyła q do

$(e^{b\varepsilon }e^{-ar})q(e^{ar}e^{b\varepsilon r})=e^{b\varepsilon r}(e^{-ar}qe^{ar})e^{b\varepsilon r}=e^{2b\varepsilon r}(e^{-ar}qe^{ar}).$

Teraz dla dowolnego wektora kwaternionowego p, p * = − p, niech q = 1 + p ε ∈ F gdzie dokonywana jest wymagana rotacja i translacja.

William Kingdon Clifford zainicjował użycie podwójnych kwaternionów w kinematyce, a następnie Aleksandr Kotelnikov, Eduard Study ( Geometrie der Dynamen ) i Wilhelm Blaschke . Powrócił jednak punkt widzenia Sophusa Lie. W 1940 roku Julian Coolidge opisał użycie podwójnych kwaternionów do przemieszczeń śrubowych na stronie 261 Historii metod geometrycznych . Odnotowuje wkład Arthura Buchheima z 1885 roku. Coolidge oparł swój opis po prostu na narzędziach, których Hamilton używał do prawdziwych kwaternionów.

Najwyraźniej grupa jednostek pierścienia podwójnych kwaternionów jest grupą Liego . Podgrupa ma algebrę Liego generowaną przez parametry ar i bs, gdzie a, b R, ir, s ∈ H . Te sześć parametrów tworzy podgrupę jednostek, sferę jednostek. Oczywiście zawiera F i 3-sferę wersorów .

Praca sił działających na ciało sztywne

Rozważmy zbiór sił F ₁, F ₂ . . . F _n działa na punkty X ₁, X ₂ . . . X _n w ciele sztywnym. Trajektorie X _i, i=1,..., n są zdefiniowane przez ruch ciała sztywnego z obrotem [ A ( t )] i przesunięcie d ( t ) punktu odniesienia w ciele, określone wzorem

$\mathbf {X} _{i}(t)=[A(t)]\mathbf {x} _{i}+\mathbf {d} (t)\quad i=1,\ldots ,n,$

gdzie x _i są współrzędnymi w poruszającym się ciele.

Prędkość każdego punktu X _i wynosi

$\delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot ({\vec {\omega }}\times (\mathbf {X} _{i}-\mathbf {d} )+\mathbf {v} )\delta t.$

gdzie ω jest wektorem prędkości kątowej, a v jest pochodną d ( t ).

Praca siły nad przemieszczeniem δ r _i = v _i δt każdego punktu jest dana wzorem

$\delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \mathbf {V} _{1}\delta t+\mathbf {F} _{2}\cdot \mathbf {V} _{2}\delta t+\cdots +\mathbf {F} _{n}\cdot \mathbf {V} _{n}\delta t.$

Określmy prędkości każdego punktu pod względem skrętu poruszającego się ciała, stąd

$\delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot ({\vec {\omega }}\times (\mathbf {X} _{i}-\mathbf {d} )+\mathbf {v} )\delta t.$

Rozwińmy to równanie i zbierzmy współczynniki ω i v, aby uzyskać

${\begin{aligned}\delta W&=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\right)\cdot \mathbf {d} \times {\vec {\omega }}\delta t+\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\right)\cdot \mathbf {v} \delta t+\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {X} _{i}\times \mathbf {F} _{i}\right)\cdot {\vec {\omega }}\delta t\\[4pt]&=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\right)\cdot (\mathbf {v} +\mathbf {d} \times {\vec {\omega }})\delta t+\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {X} _{i}\times \mathbf {F} _{i}\right)\cdot {\vec {\omega }}\delta t.\end{aligned}}$

Przedstawmy skręt ruchomego korpusu i działający na niego klucz podany poprzez

${\mathsf {T}}=({\vec {\omega }},\mathbf {d} \times {\vec {\omega }}+\mathbf {v} )=(\mathbf {T} ,\mathbf {T} ^{\circ }),\quad {\mathsf {W}}=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i},\sum _{i=1}^{n}\mathbf {X} _{i}\times \mathbf {F} _{i}\right)=(\mathbf {W} ,\mathbf {W} ^{\circ }),$

wtedy praca przybiera formę

$\delta W=(\mathbf {W} \cdot \mathbf {T} ^{\circ }+\mathbf {W} ^{\circ }\cdot \mathbf {T} )\delta t.$

Macierz 6×6 [Π] służy do uproszczenia obliczeń pracy za pomocą śrub, wtedy

$\delta W=(\mathbf {W} \cdot \mathbf {T} ^{\circ }+\mathbf {W} ^{\circ }\cdot \mathbf {T} )\delta t={\mathsf {W}}[\Pi ]{\mathsf {T}}\delta t,$

gdzie

$[\Pi ]={\begin{bmatrix}0&I\\I&0\end{bmatrix}},$

[I] jest macierzą tożsamościową 3x3.

Śruby wzajemne

Jeśli wirtualna praca klucza na skręcie wynosi zero, to siły i moment obrotowy klucza są siłami ograniczającymi względem skrętu. Mówi się, że klucz i skręt są wzajemnie odwrotne, to znaczy, jeśli

$\delta W={\mathsf {W}}[\Pi ]{\mathsf {T}}\delta t=0,$

wtedy śruby W i T są wzajemne.

Skręty w robotyce

W badaniach systemów robotycznych składowe skrętu są często transponowane w celu wyeliminowania potrzeby stosowania macierzy 6×6 [Π] w obliczeniach pracy. W tym przypadku skręt definiuje się jako

${\check {\mathsf {T}}}=(\mathbf {d} \times {\vec {\omega }}+\mathbf {v} ,{\vec {\omega }}),$

stąd równanie pracy przybiera formę

$\delta W={\mathsf {W}}\cdot {\check {\mathsf {T}}}\delta t.$

W takim przypadku, jeśli

$\delta W={\mathsf {W}}\cdot {\check {\mathsf {T}}}\delta t=0,$

wtedy klucz W jest odwrotnością skrętu T .

Zobacz też

• Oś śruby
• Równania Newtona-Eulera wykorzystują śruby do opisu ruchów ciała sztywnego i obciążenia.
• Twist (matematyka)
• Twist (trygonometria racjonalna)

Linki zewnętrzne

• Joe Rooney William Kingdon Clifford, Wydział Projektowania i Innowacji, Open University, Londyn.
• Ravi Banavar zwraca uwagę na robotykę, geometrię i sterowanie</nowiki>