Grupa Liego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

W matematyce, grupa Liego to grupa, która jest zarazem gładką rozmaitością. Można na nią patrzeć jako na zbiór z dodatkowymi strukturami rozmaitości i grupy. Przykładem grupy Liego jest grupa obrotów przestrzeni trójwymiarowej. Grupy Liego są często spotykane w analizie matematycznej, fizyce i geometrii. Zostały po raz pierwszy wprowadzone przez Sophusa Liego w 1870 roku do badania równań różniczkowych.

Definicja grupy Liego[edytuj | edytuj kod]

Grupa Liego to gładka rozmaitość (klasy C^\infty) skończonego wymiaru, która jest grupą, a działanie grupowe (np. mnożenie) i branie elementu odwrotnego są odwzorowaniami gładkimi.

Grupa Liego ma strukturę rozmaitości (np. snop funkcji gładkich lub atlas) i strukturę grupy (czyli działanie, wyróżniony element neutralny itd. )

Zazwyczaj określa się, że grupa Liego musi być rozmaitością rzeczywistą skończonego wymiaru. Istnieje kilka podobnych pojęć.

  • Zespolona grupa Liego jest zdefiniowana w ten sam sposób, tyle że zamiast rozmaitości rzeczywistej jest rozmaitość zespolona (przykład: SL(2,C)).
  • Nieskończeniewymiarowa grupa Liego to grupa Liego, która jest rozmaitością o nieskończonym wymiarze.

Algebra Liego powiązana z grupą Liego[edytuj | edytuj kod]

Z każdą grupą Liego G możemy powiązać algebrę Liego nad przestrzenią wektorową styczną do przestrzeni G w jedynce (elemencie neutralnym). Nieformalnie możemy myśleć o elementach algebry Liego jako o elementach grupy, które są "nieskończenie blisko" jedynki, a nawias Liego jest generowany przez komutator takich "nieskończenie małych" elementów.

Przykłady:

  • Algebra Liego przestrzeni wektorowej Rn to po prostu Rn z nawiasem Liego zdefiniowanym
[A,B]=0.

(w ogólności nawias Liego jest zawsze 0 wtedy i tylko wtedy, gdy grupa Liego jest abelowa)

[A,B]=AB-BA

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]