1 + 2 + 3 + 4 + …

Suma wszystkich liczb naturalnych 1 + 2 + 3 + 4 + … jest szeregiem rozbieżnym. N-ta suma cząstkowa tego szeregu jest liczbą trójkątną

$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2},$

która rośnie nieograniczenie wraz z n zmierzającym do nieskończoności.

Mimo to, że ma pierwszy rzut oka może się wydawać, że cały szereg nie ma żadnej znaczącej wartości, to można nim manipulować i uzyskać matematycznie interesujący wynik, który znajduje zastosowanie w innych dziedzinach takich jak analiza zespolona, kwantowa teoria pola czy teoria strun. Na przykład regularyzacja funkcją dzeta pozwala uzyskać następujący wynik

$1+2+3+4+\cdots=-\frac{1}{12}$

Ponadto, suma cząstkowa jest zawsze parzystą liczbą doskonałą wtedy i tylko wtedy gdy n jest liczbą Mersenne'a (n = 2^p-1), a p jest liczbą pierwszą.

Sumowalność

W przeciwieństwie do szeregu przemiennego 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·, szereg 1 + 2 + 3 + 4 + … nie jest sumowalny metodą Abela. Jego funkcja tworząca

$1+2x+3x^2+4x^3+\cdots = \frac{1}{(1-x)^2}$

ma biegun dla x = 1.

Szereg ten może być zsumowany za pomocą regularyzacji funkcją dzeta. Jeśli część rzeczywista s jest większa niż 1, funkcja dzeta Riemanna od s równa się sumie

$\sum_{n=1}^\infty {n^{-s}}$

Suma ta jest rozbieżna jeśli część rzeczywista z s jest mniejsza lub równa 1. lecz jeśli s = −1 to przedłużenie analityczne ζ(s) generuje wynik −1/12.

Fizyka

Szereg taki pojawia się w teorii strun bozonowych przy próbie obliczenia możliwych poziomów energetycznych strun, na przykład najniższego możliwego poziomu energetycznego. Stosując nieformalny opis, każda harmoniczna struny może być widoczna jako kolekcja $D$ niezależnych kwantowych oscylatorów harmonicznych, gdzie $D$ jest wymiarem czasoprzestrzeni. Jeśli podstawowa częstotliwość harmoniczna to $\omega$ to energia drgań ntej harmonicznej wynosi $n\hbar\omega/2$. Sumowanie takiego rozbieżnego szeregu prowadzi do wyniku $-\hbar\omega D/24$.

Zobacz też

• 1 + 1 + 1 + 1 + …
• 1 + 2 + 4 + 8 + …

Bibliografia

• G.H. Hardy: Divergent Series. Clarendon Press, 1949. LLC QA295.
• Barton Zwiebach: A First Course in String Theory. Cambridge UP, 2004, s. 293. ISBN 0-521-83143-1.
• A. Zee: Quantum field theory in a nutshell. Princeton UP, 2003, s. 65-66. ISBN 0-691-01019-6. – opis efektu Casimira.