Szereg 1 + 2 + 3 + 4 + …

Szereg 1 + 2 + 3 + 4 + … – rozbieżny szereg, którego składnikami są kolejne liczby naturalne.

$N$-ta suma cząstkowa tego szeregu jest liczbą trójkątną

$S_{n}=\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}},$

która rośnie nieograniczenie wraz z $n$ zmierzającym do nieskończoności. Suma cząstkowa S_n jest parzystą liczbą doskonałą wtedy i tylko wtedy, gdy $n$ jest liczbą Mersenne’a $(n=2^{p}-1),$ a $p$ jest liczbą pierwszą.

Chociaż szereg jest rozbieżny, istnieją metody pozwalające przypisać mu pewną wartość liczbową, która znajduje zastosowanie w takich dziedzinach jak analiza zespolona, kwantowa teoria pola czy teoria strun.

Sumowalność

W przeciwieństwie do szeregu przemiennego 1 − 2 + 3 − 4 + …, szereg 1 + 2 + 3 + 4 + … nie jest sumowalny metodą Abela, bo jego funkcja tworząca

$1+2x+3x^{2}+4x^{3}+\ldots ={\frac {1}{(1-x)^{2}}}$

ma biegun dla $x=1.$

Szereg ten może być jednak zsumowany za pomocą regularyzacji funkcją dzeta. Mianowicie

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{n^{-s}},$   dla   $\mathrm {re} \;s>1$

gdzie $\mathrm {re} \;s$ oznacza część rzeczywistą liczby zespolonej $s,$   $\zeta (s)$ jest funkcją dzeta Riemanna.

Suma ta jest rozbieżna dla $\mathrm {re} \;s\leqslant 1,$ jednak jej przedłużenie analityczne daje dla argumentu $s=-1{:}$

$\zeta (-1)=1+2+3+4+\ldots =-{\frac {1}{12}}.$

Fizyka

Szereg taki pojawia się w teorii strun bozonowych przy próbie obliczenia możliwych poziomów energetycznych strun, na przykład najniższego możliwego poziomu energetycznego. Stosując nieformalny opis, każda harmoniczna struny może być widoczna jako kolekcja $D$ niezależnych kwantowych oscylatorów harmonicznych, gdzie $D$ jest wymiarem czasoprzestrzeni. Jeśli podstawowa częstotliwość harmoniczna to $\omega$ to energia drgań $n$-tej harmonicznej wynosi $n\hbar \omega /2.$ Sumowanie takiego rozbieżnego szeregu prowadzi do wyniku $-\hbar \omega D/24.$

Zobacz też

• szereg 1 + 1 + 1 + 1 + …
• szereg 1 + 2 + 4 + 8 + …

Bibliografia

• Godfrey HaroldG.H. Hardy Godfrey HaroldG.H., Divergent Series, Clarendon Press, 1949, LLC QA295.H29 1967 .brak strony (książka)
• BartonB. Zwiebach BartonB., A First Course in String Theory, Cambridge UP, 2004, s. 293, ISBN 0-521-83143-1 .
• A.A. Zee A.A., Quantum field theory in a nutshell, Princeton UP, 2003, s. 65–66, ISBN 0-691-01019-6 . – opis efektu Casimira.