Algebraiczne równanie Riccatiego

Algebraiczne równanie Riccatiego – jedno z następujących równań macierzowych:

• algebraiczne równanie Riccatiego czasu ciągłego:

$A^{T}X+XA-XBR^{-1}B^{T}X+Q=0$

• algebraiczne równanie Riccatiego czasu dyskretnego:

$X=A^{T}XA-(A^{T}XB)(R+B^{T}XB)^{-1}(B^{T}XA)+Q$

gdzie $X$ jest nieznaną macierzą symetryczną $n\times n,$ a $A,B,Q,R$ są znanymi rzeczywistymi macierzami współczynników.

Nazwę równanie Riccatiego nadano algebraicznemu równaniu Riccatiego czasu ciągłego przez analogię do równanie różniczkowego Riccatiego. Zmienna nieznana pojawia się liniowo i w wyrażeniu kwadratowym (nie występują tu wyrażenia wyższych rzędów). Algebraiczne równanie Riccatiego czasu dyskretnego pojawia się w miejscu algebraicznego równania Riccatiego czasu ciągłego przy badaniu układów dyskretnych i nie jest w oczywisty sposób związane z równaniem różniczkowym Riccatiego, które badał Jacopo Riccati.

Algebraiczne równanie Riccatiego określa rozwiązanie dla dwóch najbardziej fundamentalnych problemów teorii sterowania:

• stacjonarnego regulatora liniowo-kwadratowego (LQR) z nieskończonym horyzontem,
• stacjonarnego regulatora liniowo-kwadratowego-Gaussa (LQG) z nieskończonym horyzontem.

Rozwiązanie algebraicznego równania Riccatiego otrzymać można poprzez rozkład macierzy na czynniki albo przez iterację równania Riccatiego.

Algorytm rozwiązywania równania Riccatiego

Przy założeniu stabilizowalności pary $(A;B)$ oraz wykrywalności pary $(Q;A)$ algebraiczne równanie Riccatiego ma dokładnie jedno rozwiązanie w klasie macierzy symetrycznych półokreślonych dodatnio. Stosując do rozwiązania algebraicznego równania Riccatiego iteracyjną metodę Newtona, otrzymuje się następujący algorytm wyznaczania macierzy $X.$

Macierz $X$ jest granicą ciągu $\lim _{n\to \infty }~V_{n},$ przy czym:

$0\leqslant X\leqslant V_{n+1}\leqslant V_{n}\leqslant V_{0},$

gdzie $V_{k}$ jest jedynym rozwiązaniem równania Lapunowa o postaci:

${A_{n}}^{T}V_{n}+V_{n}A_{n}+Q+L_{n}RL_{n}=0,$

gdzie:

$n=1,2,3,4,...,$

$L_{n}=-R^{-1}B^{T}V_{n-1},$

$A_{k}=A+BL_{n}$

$L_{0}$ jest tak wybrane, by części rzeczywiste wartości własnych macierzy $A_{n}=A+BL_{0}$ były ujemne. Zbieżność $V_{k}$ do $X$ jest kwadratowa, czyli istnieje stała $c>0,$ taka że:

$||V_{n+1}-X||\leqslant c||V_{n}-X||^{2},\ n=0,1,2,3,....$

Macierz $L_{0}$ może być wyznaczona za pomocą odpowiednich twierdzeń.

Powyższy algorytm podał Kleinman w 1968 roku. A sposób wyznaczania macierzy $L_{0}$ zaproponował Sandell w 1974 roku.

Zobacz też

• równanie Lapunowa
• równanie Sylvestera