Równanie Lapunowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Równanie Lapunowa - w teorii sterowania to jedno z następujących równań:

  • dyskretne równanie Lapunowa:
A X A^{H} - X + Q = 0\,

gdzie Q\, jest macierzą hermitowską a A^H\, jest transpozycją sprzężoną macierzy A\,

  • dyskretne równanie Lapunowa w postaci:
AX + XA^H + Q = 0\, .

Równania Lapunowa występują w wielu zagadnieniach teorii sterowania takich jak analiza stabilności Lapunowa i sterowanie optymalne (zob.algebraiczne równanie Riccatiego).

Zastosowanie do stabilności[edytuj | edytuj kod]

W poniższych twierdzeniach A, P, Q \in \mathbb{R}^{n \times n}, i P\, oraz Q\,symetryczne. Notacja P>0\, oznacza, że macierz P\, jest macierzą dodatnio określoną.

Twierdzenie dla przypadku czasu ciągłego[edytuj | edytuj kod]

Jeśli istnieje P>0\, i Q>0\, spełniająca A^T P + P A + Q = 0\, wówczas układ liniowy \dot{x}=A x\, jest globalnie asymptotycznie stabilny. Funkcja kwadratowa V(z)=z^T P z\, jest funkcją Lapunowa, która może być użyta do weryfikacji stabilności.

Twierdzenie dla przypadku czasu dyskretnego[edytuj | edytuj kod]

Jeśli istnieje P>0\, i Q>0\, spełniająca A^T P A -P + Q = 0\, wówczas układ liniowy x(t+1)=A x(t)\, jest globalnie asymptotycznie stabilny. Podobnie jak w twierdzeniu powyżej z^T P z\, jest funkcją Lapunowa.

Aspekty obliczeniowe rozwiązań[edytuj | edytuj kod]

Korzystając z uzupełnienia Schura dyskretne równanie Lapunowa można zapisać w postaci:

\begin{bmatrix}
X^{-1} & A \\ A^H & X-Q
\end{bmatrix}=0

lub równoważnie:

\begin{bmatrix}
X & XA \\ A^HX & X-Q
\end{bmatrix}=0.

Przy rozwiązywaniu równań Lapunowa można posłużyć się dostępnym specjalistycznym oprogramowaniem. W przypadku dyskretnym często stosuje się metodę Schura podaną przez Kitagawa (1977). W przypadku ciągłym można posłużyć się metodą Bartelsa i Stewarta (1972).

Rozwiązanie analityczne[edytuj | edytuj kod]

Dla równań dyskretnych czasu dyskretnego istnieje rozwiazanie analityczne. Zdefiniujmy operator vec(A)\, jako złożenie kolumn macierzy A\, (zob. wektoryzacja). Ponadto zdefinujmy kron(A,B)\, jako iloczyn Kroneckera macierzy A\, i B\,. Korzystając z wyniku takiego, że

vec(ABC)=kron(C^{T},A)vec(B)\,,

otrzymuje się:

 (I-kron(A^{T},A^{T}))vec(X) = vec(Q)\,

gdzie I\, jest zgodną macierzą jednostkową.

Można wówczas znaleźć rozwiązanie vec(X)\, przez odwrócenie lub przez rozwiązanie równań liniowych. Aby uzyskać X\, wystarczy odpowiednio przekształcić vec(X)\,.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]