Równanie różniczkowe Riccatiego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Równanie różniczkowe Riccatiego – typ równania różniczkowego zwyczajnego nieliniowego rzędu pierwszego.

Równanie postaci:

\frac{dy}{dx}=p(x)y^2+q(x)y+r(x),

gdzie p, q, r\,funkcjami ciągłymi, określonymi na pewnym ustalonym przedziale (a, b)\,, nazywane jest równaniem Riccatiego, od nazwiska włoskiego matematyka, Jacopo Riccatiego.

Przypadki szczególne:

Można wykazać, że przez każdy punkt obszaru (a, b)\times \mathbb{R} przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa. Dowodzi to, że całkowanie równania Riccatiego na ogół nie daje się sprowadzić do kwadratur. Znając jednak pewne rozwiązanie szczególne y_1\, równania Riccatiego można sprowadzić je poprzez podstawienie

y=y_1+\tfrac{1}{z}

do równania liniowego. Istotnie, po wstawieniu otrzymujemy

y_1^\prime-\tfrac{z^\prime}{z^2}=p(x)y_1^2+q(x)y_1+r(x)+\tfrac{2p(x)y_1}{z}+\tfrac{p(x)}{z^2}+\tfrac{q(x)}{z}

skąd wobec równości y_1^\prime=p(x)y_1^2+q(x)y_1+r(x) otrzymuje się równanie różniczkowe liniowe

z^\prime+(2p(x)y_1+q(x))z=-p(x).

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Warszawa: PWN, 1976, s. 464.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]