Geometryczny moment bezwładności

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Geometryczny moment bezwładności jest to moment bezwładności jednorodnego (o stałej gęstości) ciała podzielony przez jego gęstość. Charakteryzuje on jedynie kształt ciała i rozkład odległości jego poszczególnych punktów od osi obrotu.

Geometryczny moment bezwładności oblicza się ze wzoru

I_G = \int r^2dV

Znajomość geometrycznego momentu bezwładności umożliwia (w przypadku bryły jednorodnej o gęstości ρ) obliczenie momentu bezwładności danego ciała ze wzoru wynikającego z definicji

I=\rho \cdot I_{G}

Jednostką geometrycznego momentu bezwładności (dla bryły) jest m4.

Twierdzenie Steinera[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli znany jest geometryczny moment bezwładności pewnego ciała względem osi xC przechodzącej przez jego środek ciężkości, to moment bezwładności tego ciała względem równoległej do niej osi x można obliczyć ze wzoru:

I_x = I_{x_C}+Vd^2

gdzie d jest odległością między osiami.

Geometryczny moment bezwładności dla figur płaskich[edytuj | edytuj kod]

Gdy jeden z wymiarów może być pominięty, wówczas ciało staje się płaskie i jego geometryczny moment bezwładności jest obliczany

I_x = \int\limits_A y^2 dA
I_y = \int\limits_A x^2 dA
  • Ix – moment bezwładności względem osi x,
  • Iy – moment bezwładności względem osi y,
  • dA – element powierzchni,
  • x – odległość dA od osi y.
  • y – odległość dA od osi x.

Momenty bezwładności figury płaskiej to parametry zależne od wielkości i geometrii figury.

Moment bezwładności dla figur płaskich można wyznaczyć z geometrycznego momentu posługując się wzorem

I=\sigma \cdot I_{G}

gdzie \sigma jest stałą gęstością powierzchniową jednorodnego ciała.

Biegunowy moment bezwładności przekroju (tylko kołowego lub pierścieniowego) belki jest parametrem przekroju opisującym wytrzymałość na skręcanie. Gdy przemnożymy biegunowy moment przekroju razy moduł Kirchhoffa, to otrzymamy sztywność na skręcanie belki. Patrz: Skręcanie (wytrzymałość materiałów) (dla przekrojów kołowych I_S=I_O).

Moment bezwładności przekroju po angielsku jest zwany second moment of area.

Moment bezwładności figury płaskiej ma wymiar długość do potęgi czwartej (w SI m4).

Biegunowy moment bezwładności to moment bezwładności względem punktu będącego środkiem ciężkości. Definicja:

I_{O}= \int {\rho}^2 dA = I_{x_C} + I_{y_C}

Przykład. Moment bezwładności prostokąta[edytuj | edytuj kod]

I_{x_C}=\frac{bh^3}{12} ,
I_{y_C}=\frac{hb^3}{12}
  • I_{x_C} , I_{y_C} osiowe moment bezwładności względem osi symetrii prostokąta, osie te przechodzą przez środek ciężkości figury (względem innych osi momenty będą inne!).
  • b – szerokość (na osi x)
  • h – wysokość (na osi y)

Twierdzenie Steinera dla figur płaskich[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie Steinera odnosi się także do figur płaskich, oczywiście zamiast objętości we wzorze jest powierzchnia.

I_x = I_{x_C}+Ad^2

gdzie

d oznacza odległość między równoległymi do siebie osiami x i x_C,
A jest powierzchnią figury.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Igor N. Bronsztejn, Konstantin A. Siemiendiajew: Matematyka, poradnik encyklopedyczny. Wyd. XIV. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1997, s. 536-537.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

Charakterystyki geometryczne przekroju – wprowadzenie do liczenia momentów figur płaskich.