Moment bezwładności

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Mechanika klasyczna
Rownia tarcie.svg
\mathbf F = \frac{\mathrm d\mathbf p}{\mathrm dt}
II zasada dynamiki Newtona
Wprowadzenie
Historia
Aparat matematyczny
Koncepcje podstawowe
Przestrzeń · Czas · Prędkość · Szybkość · Masa · Przyspieszenie · Grawitacja · Siła · Popęd · Moment siły / Moment / Para sił · Pęd · Moment pędu · Bezwładność · Moment bezwładności · Układ odniesienia · Energia · Energia kinetyczna · Energia potencjalna · Praca · Praca wirtualna · Moc · Zasada d’Alemberta
Znani uczeni
Isaac Newton · Jeremiah Horrocks · Leonhard Euler · Jean le Rond d’Alembert · Alexis Clairaut · Joseph Louis Lagrange · Pierre Simon de Laplace · Henri Poincaré · Pierre Louis Maupertuis · William Rowan Hamilton · Siméon Denis Poisson

Moment bezwładności – miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym względem określonej, ustalonej osi obrotu. Im większy moment, tym trudniej zmienić ruch obrotowy ciała, np. rozkręcić dane ciało lub zmniejszyć jego prędkość kątową. Moment bezwładności odgrywa prawie taką samą rolę w dynamice ruchu obrotowego jak masa w dynamice ruchu postępowego, opisując relacje między momentem pędu, energią kinetyczną a prędkością kątową jak masa między pędem, energią kinetyczną a prędkością. Moment bezwładności zależy od osi obrotu ciała, a w ogólnym przypadku jest tensorem.

Moment bezwładności jako skalar[edytuj | edytuj kod]

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Energia kinetyczna E punktu materialnego o masie m poruszającego się z prędkością v określa wzór:

E = \frac 1 2 m v^2

Jeżeli punkt ten porusza się po okręgu, wówczas jego energię można wyrazić w wielkościach fizycznych opisujących ruch obrotowy:

E =\frac 1 2 m r^2 \omega^2 = \frac 1 2 I \omega^2

Z powyższego wynika, że moment bezwładności punktu materialnego jest iloczynem jego masy i kwadratu odległości od osi obrotu:

I = m r^2

gdzie:

m – masa punktu,
r – odległość punktu od osi obrotu,
\omega – prędkość kątowa.

Moment bezwładności ciała składającego się z n punktów materialnych jest sumą momentów bezwładności wszystkich tych punktów względem obranej osi obrotu:

I = \sum_{i=1}^{n} m_i r_i^2

Moment bezwładności ciała zależy od wyboru osi obrotu, od kształtu ciała i od rozmieszczenia masy w ciele. Moment bezwładności ma wymiar ML^2. Zwykle mierzy się go w kg·m².

Dla ciał o ciągłym rozkładzie masy sumowanie we wzorze na moment bezwładności przechodzi w całkowanie. Niech ciało będzie podzielone na nieskończenie małe elementy o masach dm, oraz niech r oznacza odległość każdego takiego elementu od osi obrotu. W takim przypadku moment bezwładności określa wzór:

I = \int\limits_{V} r^2dm

gdzie całkowanie odbywa się po całej objętości V ciała.

Za pomocą momentu bezwładności I bryły sztywnej, obracającej się względem pewnej osi z prędkością kątową \omega względem tej osi, można wyrazić energię kinetyczną E_K tej bryły

E_K = \frac{1}{2}I\omega^2

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Momenty bezwładności przykładowych brył

Rura cylindryczna[edytuj | edytuj kod]

Dla rury cylindrycznej o zewnętrznym promieniu R_2 i wewnętrznym R_1, obracającej się dookoła swej osi. Elementem masy jest powłoka cylindryczna o promieniu r, grubości dr, długości L i gęstości materiału \rho (gęstość jest jednakowa dla całej bryły), to:

  • masa elementu: dm=\rho dV,
  • objętość elementu: dV=(2\pi rdr)L,

skąd wynika, że

dm=2\pi L\rho rdr,

gdzie dV jest objętością cylindrycznej powłoki o masie dm.

Moment bezwładności cylindra względem osi wynosi:

I=\int r^2dm=2\pi L\int\limits^{R_{2}}_{R_{1}}\rho r^3dr = 2\pi L \rho \frac{R^{4}_{2}-R^{4}_{1}}{4}=\rho \pi (R^{2}_{2}-R^{2}_{1})L\frac{R^{2}_{2}+R^{2}_{1}}{2}

Całkowita masa cylindra m równa się iloczynowi gęstości \rho i objętości V:

V=\pi(R^{2}_{2}-R^{2}_{1})L

czyli:

m=\rho \pi(R^{2}_{2}-R^{2}_{1}) L

Moment bezwładności rury cylindrycznej lub pierścienia o masie m, wewnętrznym promieniu R_{1} oraz zewnętrznym R_{2} wynosi:

I=\frac{1}{2}m(R^{2}_{2}+R^{2}_{1})

względem osi cylindra.

Walec[edytuj | edytuj kod]

Walec można traktować jak rurę, w której promień wewnętrzny równa się 0, czyli R_{1}=0, zatem:

I=\frac{1}{2}mR^{2}

gdzie R jest promieniem pełnego walca o masie m.

Cienkościenna rura[edytuj | edytuj kod]

Cienkościenną rurę można potraktować jako cylinder z nieskończenie cienką ścianką, czyli R_{1}=R_{2}, zatem:

I=\ mR^{2}

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]