Moment bezwładności

Mechanika klasyczna

$\mathbf F = \frac{\mathrm d\mathbf p}{\mathrm dt}$

II zasada dynamiki Newtona

Wprowadzenie Historia Aparat matematyczny Działy Statyka  · Dynamika  · Kinematyka  · Mechanika stosowana  · Mechanika nieba  · Mechanika ośrodków ciągłych  · Mechanika statystyczna Sformułowania Mechanika Newtonowska Formalizm Lagrange’a  · Formalizm Hamiltona Koncepcje podstawowe Przestrzeń · Czas · Prędkość · Szybkość · Masa · Przyspieszenie · Grawitacja · Siła · Popęd · Moment siły / Moment / Para sił · Pęd · Moment pędu · Bezwładność · Moment bezwładności · Układ odniesienia · Energia · Energia kinetyczna · Energia potencjalna · Praca · Praca wirtualna · Moc · Zasada d’Alemberta Podstawowe zagadnienia Bryła sztywna · Dynamika bryły sztywnej · Równania Eulera (dynamika bryły sztywnej) · Ruch · Zasady dynamiki Newtona · Prawo powszechnego ciążenia · Kinematyczne równanie ruchu · Inercjalny układ odniesienia · Nieinercjalny układ odniesienia · Obracający się układ odniesienia · Siła bezwładności · Ruch jednostajny prostoliniowy · Przemieszczenie · Prędkość względna · Tarcie · Ruch harmoniczny · Oscylator harmoniczny · Wibracje · Tłumienie · Współczynnik tłumienia · Oś obrotu · Ruch obrotowy · Ruch obrotowy jednostajny · Ruch obrotowy niejednostajny · Siła dośrodkowa · Siła odśrodkowa · Siła odśrodkowa reakcji · Siła Coriolisa · Wahadło · Prędkość obrotowa · Przyspieszenie kątowe · Prędkość kątowa · Pulsacja · Droga kątowa Znani uczeni Isaac Newton · Jeremiah Horrocks · Leonhard Euler · Jean le Rond d’Alembert · Alexis Clairaut · Joseph Louis Lagrange · Pierre Simon de Laplace · Henri Poincaré · Pierre Louis Maupertuis · William Rowan Hamilton · Siméon Denis Poisson

Moment bezwładności – miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym względem określonej, ustalonej osi obrotu. Im większy moment, tym trudniej zmienić ruch obrotowy ciała, np. rozkręcić dane ciało lub zmniejszyć jego prędkość kątową. Moment bezwładności odgrywa prawie taką samą rolę w dynamice ruchu obrotowego jak masa w dynamice ruchu postępowego, opisując relacje między momentem pędu, energią kinetyczną a prędkością kątową jak masa między pędem, energią kinetyczną a prędkością. Moment bezwładności zależy od osi obrotu ciała, a w ogólnym przypadku jest tensorem.

Moment bezwładności jako skalar

Definicja

Energia kinetyczna E punktu materialnego o masie m poruszającego się z prędkością v określa wzór:

$E = \frac 1 2 m v^2 \,$

Jeżeli punkt ten porusza się po okręgu wówczas jego energię można wyrazić w wielkościach fizycznych opisujących ruch obrotowy:

$E =\frac 1 2 m r^2 \omega^2 = \frac 1 2 I \omega^2 \,$

Z powyższego wynika, że moment bezwładności punktu materialnego jest iloczynem jego masy i kwadratu odległości od osi obrotu:

$I = m r^2\,$

gdzie:

$m\,$ – masa punktu,

$r\,$ – odległość punktu od osi obrotu,

$\omega \,$ - prędkość kątowa.

Moment bezwładności ciała składającego się z $n\,$ punktów materialnych jest sumą momentów bezwładności wszystkich tych punktów względem obranej osi obrotu:

$I = \sum_{i=1}^{n} m_i r_i^2$

Moment bezwładności ciała zależy od wyboru osi obrotu, od kształtu ciała i od rozmieszczenia masy w ciele. Moment bezwładności ma wymiar $ML^2\,$. Zwykle mierzy się go w kg·m².

Dla ciał o ciągłym rozkładzie masy sumowanie we wzorze na moment bezwładności przechodzi w całkowanie. Niech ciało będzie podzielone na nieskończenie małe elementy o masach $dm\,$, oraz niech $r\,$ oznacza odległość każdego takiego elementu od osi obrotu. W takim przypadku moment bezwładności określa wzór:

$I = \int\limits_{V} r^2dm$

gdzie całkowanie odbywa się po całej objętości $V\,$ ciała.

Za pomocą momentu bezwładności $I\,$ bryły sztywnej, obracającej się względem pewnej osi z prędkością kątową $\omega \,$ względem tej osi, można wyrazić energię kinetyczną $E_K\,$ tej bryły

$E_K = \frac{1}{2}I\omega^2$

Przykłady

Momenty bezwładności przykładowych brył

Rura cylindryczna

Dla rury cylindrycznej o zewnętrznym promieniu $R_2\,$ i wewnętrznym $R_1\,$, obracającej się dookoła swej osi. Elementem masy jest powłoka cylindryczna o promieniu $r\,$, grubości $dr\,$, długości $L\,$ i gęstości materiału $\rho\,$ (gęstość jest jednakowa dla całej bryły), to:

• masa elementu: $dm=\rho dV\,$,
• objętość elementu: $dV=(2\pi rdr)L\,$,

skąd wynika, że

$dm=2\pi L\rho rdr\,$,

gdzie $dV\,$ jest objętością cylindrycznej powłoki o masie $dm\,$.

Moment bezwładności cylindra względem osi wynosi:

$I=\int r^2dm=2\pi L\int\limits^{R_{2}}_{R_{1}}\rho r^3dr = 2\pi L \rho \frac{R^{4}_{2}-R^{4}_{1}}{4}=\rho \pi (R^{2}_{2}-R^{2}_{1})L\frac{R^{2}_{2}+R^{2}_{1}}{2}$

Całkowita masa cylindra $m\,$ równa się iloczynowi gęstości $\rho\,$ i objętości $V\,$:

$V=\pi(R^{2}_{2}-R^{2}_{1})L$

czyli:

$m=\rho \pi(R^{2}_{2}-R^{2}_{1}) L$

Moment bezwładności rury cylindrycznej lub pierścienia o masie $m\,$, wewnętrznym promieniu $R_{1}\,$ oraz zewnętrznym $R_{2}\,$ wynosi:

$I=\frac{1}{2}m(R^{2}_{2}+R^{2}_{1})$

względem osi cylindra.

Walec

Walec można traktować jak rurę, w której promień wewnętrzny równa się 0, czyli $R_{1}=0\,$, zatem:

$I=\frac{1}{2}mR^{2}$

gdzie $R\,$ jest promieniem pełnego walca o masie $m\,$.

Cienkościenna rura

Cienkościenną rurę można potraktować jako cylinder z nieskończenie cienką ścianką, czyli $R_{1}=R_{2}\,$, zatem:

$I=\ mR^{2}$

Zobacz też

• geometryczny moment bezwładności
• lista momentów bezwładności
• promień bezwładności
• tensor momentu bezwładności
• twierdzenie Steinera (mechanika)

Linki zewnętrzne

Charakterystyki geometryczne przekroju – wprowadzenie do liczenia momentów figur płaskich.