Gradient ciśnienia

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Gradient ciśnienia - wielkość fizyczna określająca kierunek najszybszego przyrostu ciśnienia gazu lub cieczy, a także szybkość tego przyrostu. Wielkość ta ma fundamentalne znaczenie w mechanice płynów i dyscyplinach pochodnych, m.in. w hydrodynamice podziemnej i meteorologii, gdyż w przypadku braku niezrównoważonych sił zewnętrznych jej wartość decyduje o kierunku i szybkości przepływu płynów (np. powietrza w atmosferze lub wód podziemnych). Gradient ciśnienia jest wielkością wektorową, a jego jednostką w układzie SI jest paskal na metr (Pa/m).

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Gradient ciśnienia jest wektorem, którego składowe w chwili \; t \; (w kartezjańskim układzie odniesienia) równe są pochodnym cząstkowym ciśnienia \; P(x,y,z,t) \; względem współrzędnych przestrzennych \; x, y, z \;:

\mathrm{grad} \, P(x,y,z,t)  \; \stackrel{\rm df}{=} \;  \left(\frac{\part P(x,y,z,t)}{\part x}, \frac{\part P(x,y,z,t)}{\part y}, \frac{\part P(x,y,z,t)}{\part z}\right).

Gradient ciśnienia oznaczany też bywa za pomocą operatora nabla:

\mathrm{grad} \, P \equiv \nabla P

Tak rozumiane pojęcie gradientu ciśnienia jest zgodne z matematycznym pojęciem gradientu pola skalarnego. Należy jednak pamiętać, że wykorzystane w jego definicji pochodne mają sens tylko w takich skalach przestrzennych, w jakich określone jest pojęcie ciśnienia (por. np. dyskusję tego zagadnienia w haśle funkcja rozkładu) i na jakich zmiany ciśnienia są technicznie mierzalne. Stąd też w zastosowaniach praktycznych stosuje się nieco uproszczoną definicję gradientu ciśnienia jako wektora prostopadłego do powierzchni (w zagadnieniach trójwymiarowych) lub linii (w zagadnieniach dwuwymiarowych, np. w meteorologii) stałego ciśnienia, zwanej powierzchnią (linią) izobaryczną, skierowanego do obszaru o wyższym ciśnieniu i mającego wartość

 \frac{\Delta P}{L},

gdzie \;\Delta P\; jest różnicą ciśnień w dwóch punktach leżących w odległości \;L\; od siebie na prostej prostopadłej do powierzchni (linii) izobarycznej. Wartość \; L zależy od obszaru zastosowań; np. w meteorologii typową wartością tego parametru jest 100 km.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Gradient ciśnienia jest zawsze prostopadły do powierzchni izobarycznej skalarnego pola ciśnienia \; P(x,y,z,t) \; i skierowany w kierunku wzrastania jego wartości.

Jednostki[edytuj | edytuj kod]

W układzie SI jednostką gradientu ciśnienia jest paskal na metr (Pa/m).

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Gradient ciśnienia ma fundamentalne znaczenie m.in. w meteorologii, mechanice płynów i hydrodynamice podziemnej, gdyż w przypadku istnienia niezerowego gradientu ciśnienia na płyn (np. powietrze lub wodę) działa dodatkowa siła proporcjonalna do gradientu ciśnienia wziętego ze znakiem minus. W układach, które są izotropowe i w których prędkości przepływu są małe (tzn. liczba Reynoldsa jest dostatecznie mała, by przepływ miał charakter pełzający), np. w hydrodynamice podziemnej, płyn porusza się dokładnie w kierunku przeciwnym do wektora gradientu ciśnienia. W hydrodynamice podziemnej dotyczy to zarówno prędkości filtracji, jak i prędkość adwekcji (z wyjątkiem przepływów w ośrodkach anizotropowych). Podczas przepływów w ośrodkach porowatych, zgodnie z prawem Darcy'ego, prędkość filtracji jest bowiem wprost proporcjonalna do wziętego ze znakiem minus gradientu ciśnienia płynu.

Gradient ciśnienia posiada szczególne znaczenie w fizyce atmosfery. W atmosferach planetarnych gradient ciśnienia skierowany jest niemal pionowo w dół. Jego wartość w troposferze Ziemi wynosi ok. 9 Pa/m, czyli 90 hPa/km, jest wiec łatwo mierzalna nawet domowym barometrem.

Ponieważ atmosferę ziemską można w pierwszym przybliżeniu traktować jak gaz doskonały w stanie równowagi hydrostatycznej, ciśnienie równe jest ciężarowi powietrza w słupie powietrza (o przekroju jednostkowym) ponad danym punktem. Dlatego pionowy gradient ciśnienia można związać z gęstością i temperaturą powietrza za pomocą następującego wzoru:

 \frac{dP}{dz} = -\rho g = - \frac {mPg}{RT}

gdzie:

We wzorze tym wszystkie wielkości poza \; R są funkcjami \; z.

Skoro gradient ciśnienia jest proporcjonalny do gęstości powietrza na danej wysokości, w wyższych partiach atmosfery jest on szybko malejącą funkcją wysokości. Pionowa składowa gradientu ciśnienia atmosferycznego wytwarza siłę skierowaną do góry, która jest niemal doskonale równoważona przez skierowany w dół ciężar mas powietrza. Brak pełnego zrównoważenia składowej pionowej obserwuje się m.in. podczas burz.

Gradient ciśnienia atmosferycznego zwykle posiada niewielką składową poziomą odpowiedzialną za powstawanie wiatrów. Dlatego w meteorologii powszechnie wykorzystuje się dwuwymiarowy rzut wektora gradientu ciśnienia na powierzchnię Ziemi zwany gradientem barycznym. W pobliżu powierzchni Ziemi składowa pozioma gradientu ciśnienia zwykle skierowana jest w kierunku mas powietrza o wysokim ciśnieniu (antycyklonów), jednak jej dokładny kierunek i wartość zależą od warunków pogodowych. W naszych szerokościach geograficznych typowe wartości poziomej składowej gradientu ciśnienia poza obszarami frontów atmosferycznych wynoszą ok. 10-2 Pa/m (czyli ok. 10 Pa/km).

Duże wartości gradientu ciśnienia są charakterystyczne dla fal akustycznych rozchodzących się w gazach lub cieczach, odbieranych przez nasze uszy jako dźwięk.