Grupa przestrzenna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Grupa przestrzenna – w matematyce, geometrii i krystalografii jest to grupa symetrii. W przestrzeni trójwymiarowej zazwyczaj dzieli przestrzeń na powtarzalną grupę dyskretną.

W przestrzeni trójwymiarowej istnieje 219 różnych typów grup przestrzennych (230 uwzględniając chiralne). Grupy przestrzenne są badane i występują także w przestrzeniach o różnej ilości wymiarów. Za przykład mogą posłużyć grupy Bieberbacha[1].

W krystalografii spotyka się grupy określane mianem krystalograficznych grup przestrzennych lub grup Fiodorowa. Przedstawiają i opisują symetrie kryształów[2].

Rys historyczny[edytuj | edytuj kod]

Grupy przestrzenne w przestrzeni dwuwymiarowej były znane od bardzo dawna. Pierwsze grupy przestrzenne dla przestrzeni trójwymiarowej wyliczono pod koniec XIX wieku. W 1891 roku dokonali tego niezależnie Fiodorow (1853-1919) i Schonflies (1853-1928). W 1894 roku wyliczeń dokonał również Barlow (1845-1934). Pierwsza prace zawierały błędy. Fiodorow i Schonflies korespondencyjnie wymienili się wyliczeniami. Rezultatem tego był w pełni poprawna lista 230 grup przestrzennych[3][4][5].

Elementy grup przestrzennych[edytuj | edytuj kod]

Grupy przestrzenne w trójwymiarowej przestrzeni powstały w wyniku połączenia 32 krystalograficznych grup punktowych z 14 sieciami Bravais’go należących do jednego z 7 układów krystalograficznych. Z tego powodu grupy przestrzenne uwzględniają kombinacje translacji komórki elementarnej i operacji wykonywanych na grupach punktowych.

Notacje grup przestrzennych[edytuj | edytuj kod]

Istnieje co najmniej dziewięć sposobów określania grup przestrzennych:

  • numeryczna – Międzynarodowa Unia Krystalografii (IUCr) publikuje tabele wszystkich typów grup przestrzennych i przypisuje każdej unikatowy numer od 1 do 230. Grupy przestrzenne tych samych układów krystalograficznych i grup punktowych przydzielone mają kolejne numery.
  • międzynarodowa (M, notacja Hermanna–Mauguina) – składa się z dużej litery oznaczającej typ sieci Bravais’go, z liczb oznaczających osie symetrii zwykłe, inwersyjne lub śrubowe oraz z małych liter jako symboli płaszczyzn symetrii i poślizgu. Znając reguły składania elementów symetrii możliwe jest przedstawienie rozmieszczenia elementów symetrii w komórce elementarnej[6].
  • notacja Kreutza-Zaremby – za twórcze elementy symetrii przyjmuje się osie i środek symetrii. W symbolach klas opuszcza się płaszczyzny symetrii, jeżeli wynikają one z iloczynu osi parzystokrotnych i środka symetrii.
  • notacja Schonfliesa – składa się z dużej litery C, D, S, T, O określającej rodzaj grupy obrotowej oraz z dolnych indeksów informujących o krotności głównej osi symetrii (n), rodzaju płaszczyzny symetrii (v, h, d) i o istnieniu środka symetrii (i). Z takich symboli nie można określić typu sieci Bravais’go i wszystkich elementów symetrii grupy[6].

Klasyfikacja grup przestrzennych[edytuj | edytuj kod]

Istnieje co najmniej 10 różnych możliwości klasyfikowania grup przestrzennych w przestrzeni trójwymiarowej. Skatalogowane są w tabeli od postaci najbardziej szerokiej, aż do wąskich klas na samym dole:

Krystalograficzne grupy przestrzenne (230 klas)
Afiniczne grupy przestrzenne (219 klas)
Arytmetyczne grupy przestrzenne (73 klasy)
Klasy krystalograficzne (32 klasy) Grupa punktowa sieci Bravais’go (14 klas)
Układ krystalograficzny (7 klas) Sieć Bravais’go (7 klas)
Rodzina krystalograficzna (6 klas)

Grupa przestrzenna w 3 wymiarach[edytuj | edytuj kod]

Układ krystalograficzny Grupy punktowe Grupy przestrzenne
M Schonflies
1 trójskośny (2) 1 C_{1} P1
2 \bar{1} C_{i} {P\overline{1}}
3–5 jednoskośny (13) 2 C_{2} P2, P2_{1}, C2
6–9 m C_{s} Pm, Pc, Cm, Cc
10–15 2/m C_{2h} P2/m, P2_{1}/m, C2/m, P2/c, P2_{1}/c, C2/c
16–24 rombowy (59) 222 D_{2} P222, P222_{1}, P2_{1}2_{1}2, P2_{1}2_{1}2_{1}, C222_{1}, C222, F222, I222, I2_{1}2_{1}2_{1}
25–46 mm2 C_{2v} Pmm2, Pmc2_{1}, Pcc2, Pma2, Pca2_{1}, Pnc2, Pmn2_{1}, Pba2, Pna2_{1}, Pnn2,
Cmm2, Cmc2_{1}, Ccc2, Amm2, Aem2, Ama2, Aea2, Fmm2, Fdd2, Imm2, Iba2, Ima2
47–74 mmm D_{2h} Pmmm, Pnnn, Pccm, Pban, Pmma, Pnna,
 Pmna, Pcca, Pbam, Pccn, Pbcm, Pnnm, Pmmn, Pbcn, Pbca, Pnma,
Cmcm, Cmce, Cmmm, Cccm, Cmme, Ccce, Fmmm, Fddd, Immm, Ibam, Ibca, Imma
75–80 tetragonalny (68) 4 C_{4} P4, P4_{1}, P4_{2}, P4_{3}, I4, I4_{1}
81–82 \bar{4} S_{4} P\bar{4}, I\bar{4}
83–88 4/m C_{4h} P4/m, P4_{2}/m, P4/n, P4_{2}/n, I4/m, I4_{1}/a
89–98 422 D_{4} P422, P42_{1}2, P4_{1}22, P4_{1}2_{1}2, P4_{2}22, P4_{2}2_{1}2, P4_{3}22, P4_{3}2_{1}2, I422, I4_{1}22
99–110 4mm C_{4v} P4mm, P4bm, P4_{2}cm, P4_{2}nm, P4cc, P4nc, P4_{2}mc, P4_{2}bc, I4mm, I4cm, I4_{1}md, I4_{1}cd
111–122 \bar{4}2m D_{2d} P\bar{4}2m, P\bar{4}2c, P\bar{4}2_{1}m, P\bar{4}2_{1}c, P\bar{4}m2, P\bar{4}c2, P\bar{4}b2, P\bar{4}n2, I\bar{4}m2, I\bar{4}c2, I\bar{4}2m, I\bar{4}2d
123–142 4/mmm D_{4h} P4/mmm, P4/mcc, P4/nbm, P4/nnc, P4/mbm, P4/mnc, P4/nmm, P4/ncc,
 P4_{2}/mmc, P4_{2}/mcm, P4_{2}/nbc, P4_{2}/nnm, P4_{2}/mbc, P4_{2}/mnm, P4_{2}/nmc, P4_{2}/ncm,
 I4/mmm, I4/mcm, I4_{1}/amd, I4_{1}/acd
143–146 trygonalny (25) 3 C_{3} P3, P3_{1}, P3_{2}, R3
147–148 \bar{3} S_{6} P\bar{3}, R\bar{3}
149–155 32 D_{3} P312, P321, P3_{1}12, P3_{1}21, P3_{2}12, P3_{2}21, R32
156–161 3m C_{3v} P3m1, P31m, P3c1, P31c, R3m, R3c
162–167 \bar{3}m D_{3d} P\bar{3}1m, P\bar{3}1c, P\bar{3}m1, P\bar{3}c1, R\bar{3}m, R\bar{3}c
168–173 heksagonalny (27) 6 C_{6} P6, P6_{1}, P6_{5}, P6_{2}, P6_{4}, P6_{3}
174 \bar{6} C_{3h} P\bar{6}
175–176 6/m C_{6h} P6/m, P6_{3}/m
177–182 622 D_{6} P622, P6_{1}22, P6_{5}22, P6_{2}22, P6_{4}22, P6_{3}22
183–186 6mm C_{6v} P6mm, P6cc, P6_{3}cm, P6_{3}mc
187–190 \bar{6}m2 D_{3h} P\bar{6}m2, P\bar{6}c2, P\bar{6}2m, P\bar{6}2c
191–194 6/mmm D_{6h} P6/mmm, P6/mcc, P6_{3}/mcm, P6_{3}/mmc
195–199 regularny (36) 23 T P23, F23, I23, P2_{1}3, I2_{1}3
200–206 m\bar{3} T_{h} Pm\bar{3}, Pn\bar{3}, Fm\bar{3}, Fd\bar{3}, Im\bar{3}, Pa\bar{3}, Ia\bar{3}
207–214 432 O P432, P4_{2}32, F432, F4_{1}32, I432, P4_{3}32, P4_{1}32, I4_{1}32
215–220 \bar{4}3m T_{d} P\bar{4}3m, F\bar{4}3m, I\bar{4}3m, P\bar{4}3n, F\bar{4}3c, I\bar{4}3d
221–230 m\bar{3}m O_{h} Pm\bar{3}m, Pn\bar{3}n, Pm\bar{3}n, Pn\bar{3}m, Fm\bar{3}m, Fm\bar{3}c, Fd\bar{3}m, Fd\bar{3}c, Im\bar{3}m, Ia\bar{3}d

Wprowadzenie przez IUCr pojęcia płaszczyzny poślizgu e spowodowało w 1996 roku zmianę symboli i rysunków niektórych grup przestrzennych. Zmiana dotyczyła 7 grup w układzie rombowym oraz pięciu dla układów tetragonalnego i regularnego. Rysunki wszystkich wymienionych grup zostały zmienione. Symbole grup zostały zmienione tylko dla 5 przypadków w układzie rombowym (np. Abm2 na Aem2)[9].

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Bieberbach L.. Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume (Zweite Abhandlung.) Die Gruppen mit einem endlichen Fundamentalbereich. „Mathematische Annalen”. 72 (3), s. 400–412, 1912. doi:10.1007/BF01456724. 
  2. Hahn T.: International Tables for Crystallography, Volume A: Space Group Symmetry. Berlin, Nowy York: Springer-Verlag, 2002. ISBN 978-0-7923-6590-7.
  3. Fedorov E. S.. Symmetry of Regular Systems of Figures. „Zap. Mineral. Obch.”. 28, s. 1–146, 1891. 
  4. Schönflies A. M.. Theorie der Kristallstruktur. „Gebr. Bornträger”, 1891. Berlin. 
  5. Barlow W.. Über die geometrischen Eigenschaften starrer Strukturen und ihre Anwendung auf Kristalle. „Z. Kristallogr”. 23, s. 1–63, 1894. 
  6. 6,0 6,1 Trzaska Durski Z., Trzaska Durska H.: Podstawy krystalografii. Warszawa: OW Politechniki Warszawskiej, 2003, s. 127-135. ISBN 83-7207-438-0.
  7. Hall S. R.. Space-Group Notation with an Explicit Origin. „Acta Cryst.”. A37, s. 517–525, 1981. 
  8. Conway J. H., Delgado F. O., Huson D. H., Thurston W. P.. On three-dimensional space groups. „Beiträge zur Algebra und Geometrie. Contributions to Algebra and Geometry”. 42 (2), s. 475–507, 2001. 
  9. Trzaska Durski Z., Trzaska Durska H.: Podstawy krystalografii. Warszawa: OW Politechniki Warszawskiej, 2003, s. 166-169. ISBN 83-7207-438-0.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]