Grupa Coxetera

Grupą Coxetera – grupa z wyróżnionym układem generatorów $\{r_{i}:i\in I\},$ którego elementy spełniają następujący układ relacji:

$(r_{i}r_{j})^{n_{ij}}=1{\text{ dla }}i,j\in I,$

gdzie:

$n_{ii}=1,$ czyli $r_{i}^{2}=1$ dla dowolnego $i\in I,$

$n_{ij}=n_{ji}\in \mathbb {Z} \cup \{\infty \}$ dla $i,j\in I,i\neq j,$ przy czym $n_{ij}\geqslant 2;$ dla $n_{ij}=\infty$ nie istnieje relacja między $r_{i}\,{}$ a ${}\,r_{j}$.

Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska Harolda Coxetera. Grupy tego rodzaju są rozważane w teorii grup dyskretnych jako uogólnienie grup odbić generowanych przez odbicia względem hiperpowierzchni w przestrzeni euklidesowej. Każda grupa odbić jest grupą Coxetera, jeśli jej generatorami są odbicia względem hiperpowierzchni ograniczających wielościan fundamentalny.

Macierz $(n_{ij}),$ gdzie $i,j\in I$ nazywa się macierzą Coxetera danej grupy Coxetera. Macierz ta i sama grupa może być zadana za pomocą grafu Coxetera – grafu o wierzchołkach $\{a_{i}:i\in I\},$ w którym wierzchołki $a_{i}$ i $a_{j}$ są połączone $(n_{ij}-2)$-krotną krawędzią, jeśli $n_{ij}<\infty$ (w szczególności nie są w ogóle połączone, jeśli $n_{ij}=2$) i są połączone grubą krawędzią, jeśli $n_{ij}=\infty .$ Czasem zamiast łączyć wierzchołki grafu krawędziami wielokrotnymi, łączy się je jedną krawędzią ze znakiem $n_{ij}$ nad nią.

Własności

• Jeśli $n_{ij}=2,$ to mnożenie $r_{i}$ przez $r_{j}$ jest przemienne.
• $n_{ij}$ jest rzędem elementu $r_{i}r_{j}.$

Przykłady

• Każda grupa generowana przez dwa elementy rzędu 2 jest grupą Coxetera o macierzy postaci $\left[{\begin{smallmatrix}2&m\\m&2\end{smallmatrix}}\right].$ Jej graf Coxetera:

• Grupa symetryczna ${\mathfrak {S}}_{n}$ jest grupą Coxetera względem generatorów $r_{i}=(i,i+1)$ dla $i=1,2,\dots ,n-1$ ($r_{i}$ jest transpozycją elementów $i$ i $i+1$). Jej graf Coxetera:

• Macierzą Coxetera grupy ${\mathfrak {S}}_{4}$ jest:

${\begin{bmatrix}2&3&2\\3&2&3\\2&3&2\end{bmatrix}}$

• Grupa $PGL=GL_{2}(\mathbb {Z} )/\{\pm 1\}$ jest grupą Coxetera względem generatorów:

$r_{1}=\left\{\pm {\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right\},\;r_{2}=\left\{\pm {\begin{bmatrix}-1&0\\1&1\end{bmatrix}}\right\},\;r_{3}=\left\{\pm {\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}\right\}.$

Jej graf Coxetera:

Skończone grupy Coxetera

H.S.M. Coxeter w roku 1934 znalazł wszystkie grupy odbić w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej $E^{n}$ i wykazał, że są one grupami Coxetera. W następnej pracy wykazał, że każda skończona grupa Coxetera jest izomorficzna z pewną grupą odbić w $E^{n},$ której elementy mają wspólny punkt stały. W ten sposób otrzymał klasyfikację grup skończonych Coxetera.

Grafy (diagramy) Coxetera skończonych grup Coxetera.

Nieskończone grupy Coxetera

Wśród nieskończonych grup Coxetera można wyróżnić grupy paraboliczne, izomorficzne z pewną grupą odbić w przestrzeni euklidesowej $E^{n}$ i grupy hiperboliczne, izomorficzne z pewną grupą odbić przestrzeni hiperbolicznej $L^{n},$ elementy których nie mają wspólnej hiperpłaszczyzny niezmienniczej o wymiarze mniejszym od n (w przypadku hiperbolicznym za hiperpłaszczyznę należy uważać również punkt w nieskończoności).

Wszystkie paraboliczne grupy Coxetera zostały znalezione przez H.S.M. Coxetera, który udowodnił, że są to afiniczne grupy Weyla z teorii półprostych grup Liego.

Diagramy Coxetera afinicznych grup Weyla

Związek z wielościanami

Jeśli przestrzeń jest n-wymiarową sferą, przestrzenią euklidesową lub przestrzenią hiperboliczną, to grupa odbić jest generowana przez odbicia $r_{i}$ względem hiperpowierzchni $H_{i},$ ograniczających wielościan fundamentalny $P$ tej grupy. Względem tego układu generatorów grupa odbić jest grupą Coxetera o relacjach zdefiniowanych następująco:

1. jeśli ściany $H_{i}\cap P$ i $H_{j}\cap P$ przylegają do siebie i kąt między nimi jest równy $\alpha _{ij},$ to ${r_{i}r_{j}}^{n_{ij}}=1,$ gdzie $n_{ij}={\frac {\pi }{\alpha _{ij}}},$
2. jeśli ściany $H_{i}\cap P$ i $H_{j}\cap P$ nie przylegają do siebie, to $n_{ij}=\infty .$

Wielościany fundamentalne grup Coxetera nazywają się wielościanami Coxetera. Wielościanami Coxetera można wypełnić przestrzeń. Mają więc związek z parkietażami i krystalografią.

Przykłady

• Wielościany Coxetera w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej:
  • 2n-komórka foremna $\{(x_{1},\dots ,x_{n}):0\leqslant x_{i}\leqslant 1,i=1,\dots ,n\},$
  • (n + 1)-komórka (n-sympleks) $\{(x_{1},\dots ,x_{n}):0\leqslant x_{1}\ldots \leqslant x_{n}\leqslant 1\}.$
• Wielościany Coxetera w n-wymiarowej sferze:
  • n-wymiarowy sympleks foremny o boku $\pi /2.$
• Wielościany Coxetera w n-wymiarowej przestrzeni hiperbolicznej:
  • k-wielokąt foremny o kącie $\pi /m$ w przestrzeni 2-wymiarowej,
  • dwunastościan foremny (dodekaedr) prostokątny w przestrzeni 3-wymiarowej,
  • 120-ścian foremny prostokątny w przestrzeni 4-wymiarowej.

Bibliografia

• Математическая энциклопедия. И.М. Виноградов (red.). T. 2. Москва: Советская энциклопедия, 1979.brak strony w książce
• Harold Scott MacDonald Coxeter. Discrete groups generated by reflections. „Ann. of Math.”. 35, s. 588–621, 1934. 
• Harold Scott MacDonald Coxeter. The groups determinated by the relations of the form $R_{i}^{2}=(R_{i}R_{j})^{k_{ij}}=1$. „J. London Math. Soc.”. 10, s. 21–25, 1935. 
• Harold Scott MacDonald Coxeter, William Moser: Generators and relationsfor discrete groups. Berlin Heidelberg New York: Springer Verlag, 1972.brak strony w książce
• Nicolas Bourbaki: Groupes et algebres de Lie. T. XXXIV (rozdz. IV-VI). Paris: Hermann, 1968.brak strony w książce