Homomorfizm ciał

Homomorfizm ciał – przekształcenie jednego ciała w drugie, które zachowuje strukturę.

Definicja formalna

Niech $(R,+,\cdot )$ oraz $(S,\oplus ,\odot )$ będą dowolnymi ciałami.

Homomorfizmem ciał $R$ i $S$ nazywamy dowolne odwzorowanie $h\colon R\to S$ takie, że

• $h(a+b)=h(a)\oplus h(b)$ – zachowane jest działanie addytywne,
• $h(a\cdot b)=h(a)\odot h(b)$ – zachowane jest działanie multiplikatywne.

Własności

NIech $h\colon R\to S$ jest homomorfizmem między ciałami R i S. Wtedy:

• $h(0_{R})=0_{S}$ – element neutralny dodawania w $R$ jest odwzorowywany na element neutralny dodawania w $S,$
• $h(1_{R})=1_{S}$ – element neutralny mnożenia $R$ jest odwzorowywany na element neutralny mnożenia w $S,$
• $-h(a)=h(-a)$ – element przeciwny jest odwzorowywany w element przeciwny, co wynika z rozumowania: $h(a)\oplus h(-a)=h(a+(-a))=h(0_{R})=0_{S},$
• $\left(h(a)\right)^{-1}=h(a^{-1})$ – element odwrotny jest odwzorowywany w element odwrotny.

Obraz

Obrazem homomorfizmu $h$ nazywamy zbiór

$\operatorname {Im} (h)=\{a\in S:\exists _{b\in R}\;a=h(b)\},$

czyli zbiór takich elementów $S,$ które są wartościami odwzorowania $h$ na co najmniej jednym elemencie zbioru $R.$

Obrazem homomorfizmu $h$ jest podciało ciała S.

Monomorfizm

Monomorfizmem pierścieni nazywamy homomorfizm, który jest różnowartościowy (jest iniekcją).

Epimorfizm

Epimorfizmem pierścieni nazywamy homomorfizm typu „na” (będący suriekcją).

Homomorfizm $h\colon R\to S$ jest epimorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy $\operatorname {Im} (h)=S.$

Izomorfizm

Homomorfizm $h\colon R\to S$ nazywamy izomorfizmem ciał wtedy i tylko wtedy, gdy $h$ jest wzajemnie jednoznaczny (jest bijekcją), czyli jest jednocześnie monomorfizmem i epimorfizmem. Wtedy: $h^{-1}$ istnieje (ponieważ $h$ jest wzajemnie jednoznaczne) i również jest izomorfizmem.

Mówimy, że ciała $R$ i $S$ są izomorficzne, gdy istnieje izomorfizm $h\colon R\to S$ (równoważnie: izomorfizm $g\colon S\to R$) i oznaczamy $R\simeq S.$ W dowolnym zbiorze ciał relacja izomorficzności $\simeq$ jest relacją równoważności.

Zobacz też

• automorfizm
• endomorfizm
• morfizmy grup

Bibliografia

• Adamson, Iain T. (1982). Introduction to Field Theory (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-28658-1.