Kryterium Abela

Kryterium Abela - warunek wystarczający zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego postaci

$\sum_{n=1}^\infty f_n(x)g_n(x)$.

Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska Nielsa Abela.

Twierdzenie

Niech $(f_n)$ i $(g_n)$ są ciągami funkcji skalarnych określonych na wspólnej dziedzinie $A$.

Jeśli

• szereg $\sum_{n=1}^\infty g_n(x)$ jest zbieżny jednostajnie w zbiorze $A$
• dla każdego $x$ ze zbioru $A$ ciąg $(f_n(x))$ jest monotoniczny
• istnieje taka liczba $M$, że dla prawie każdej liczby naturalnej $n$ oraz wszystkich elementów $x$ zbioru $A$ spełniony jest warunek

$|f_n(x)|\leq M$,

to szereg funkcyjny

$\sum_{n=1}^\infty f_n(x)g_n(x)$

jest zbieżny jednostajnie w zbiorze $A$.

Zobacz też

• kryteria zbieżności szeregów
• kryterium Dirichleta
• kryterium Weierstrassa
• zbieżność punktowa,
• zbieżność monotoniczna

Bibliografia

• Grigorij M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. czwarte. T. II. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1966, s. 370.
• Julian Musielak, Helena Musielak: Analiza matematyczna I/1. Poznań: Wydawnictwo Naukowe UAM, 2000, s. 184-185. ISBN 830232-1049-7.