Kryteria zbieżności szeregów

Kryteria zbieżności szeregów to grupa twierdzeń pozwalających ustalić, czy dany szereg jest zbieżny, czy nie. Jeżeli szereg spełnia warunki podane w kryterium, to przesądza to o jego zbieżności lub rozbieżności. Większość kryteriów dostarcza jedynie warunki konieczne na zbieżności lub rozbieżności szeregu (wyjątkiem jest warunek Cauchy'ego dla szeregów). Oznacza to, że w pewnych sytuacjach kryteria nie dostarczają informacji pozwalającej na ocenę zbieżności szeregów. Zaletą kryteriów zbieżności jest względna łatwość ich sprawdzenia i szerokie zastosowanie praktyczne. Korzystając z kryteriów zbieżności, zwykle wyliczamy pomocnicze wielkości związane z szeregiem i na tej podstawie wydajemy osąd.

Niech $\sum_{n=1}^\infty a_n$ będzie szeregiem liczbowym, tzn. o wyrazach rzeczywistych lub zespolonych.

Warunek konieczny zbieżności

Podstawowym kryterium zbieżności szeregu jest warunek konieczny zbieżności. Pozwala on stwierdzić kiedy dany szereg nie jest zbieżny. Badanie problemu zbieżności szeregu powinno się zaczynać od sprawdzenia tego kryterium, a jeśli warunek konieczny jest spełniony przejść do kolejnych kryteriów.

Warunek konieczny zbieżności szeregu: Jeśli wyraz ogólny $a_n$ szeregu $\sum_{n=1}^\infty a_n$ nie zbiega do 0, symbolicznie $\lim_{n\to\infty}a_n\neq 0$, to szereg ten jest rozbieżny.

Przykład. Szereg $\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n+1}$ jest rozbieżny, gdyż $\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1\neq 0$.

Jeśli $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$, to warunek konieczny nie rozstrzyga, czy szereg jest zbieżny czy nie i trzeba użyć innego kryterium. Na przykład szereg harmoniczny $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ jest rozbieżny mimo, że $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}= 0$.

Przykład. Aby wyznaczyć granicę $\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{n^n}$ rozważmy szereg $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}$. Korzystając z kryterium d'Alemberta nietrudno pokazać, że szereg ten jest zbieżny. Zatem na mocy warunku koniecznego zbieżności szeregu otrzymujemy, że $\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{n^n}=0$.

Warunek Cauchy'ego zbieżności

Dla szeregów liczbowych zachodzi następujący warunek zbieżności, pochodzący od Cauchy'ego:

Szereg liczbowy $\sum_{n=1}^\infty a_n$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy: $\forall_{\varepsilon > 0} \exists_{n_0 \in N} \forall_{n\geqslant n_0} \forall_{k\in N} \left \vert \sum_{i=n}^{n+k} a_i \right \vert < \varepsilon$ Jest to równoważne temu, że ciąg sum częściowych $\left(\sum_{n=1}^k a_n\right)_{k=1}^\infty$ szeregu $\sum_{n=1}^\infty a_n$ jest ciągiem Cauchy'ego.

Zbieżność bezwzględna

Szereg $\sum_{n=1}^\infty a_n$ nazywamy zbieżnym bezwzględnie, jeżeli zbieżny jest szereg $\sum_{n=1}^\infty |a_n|$. Jeżeli dany szereg jest zbieżny bezwzględnie, to jest on zbieżny również w zwykłym sensie.

Dowód. Załóżmy, że $\sum_{n=1}^\infty |a_n|$ jest zbieżny. Spełnia on warunek Cauchy'ego, tzn. dla każdej liczby $\varepsilon>0$ istnieje liczba $n_0$ taka, że

$\sum_{n=k}^m |a_n|<\varepsilon$

dla dowolnych $m>k>n_0$. Ponieważ $|\sum_{n=k}^m a_n|\leq \sum_{n=k}^m |a_n|<\varepsilon$, więc szereg $\sum_{n=1}^\infty a_n$ także spełnia warunek Cauchy'ego, czyli jest zbieżny.

Powyższe rozróżnienie jest istotne, może się bowiem zdarzyć, że dany szereg jest zbieżny, lecz nie jest zbieżny bezwzględnie – mówimy wtedy, że szereg jest zbieżny warunkowo. Twierdzenie Riemanna mówi, że można tak poprzestawiać wyrazy szeregu warunkowo zbieżnego liczb rzeczywistych, aby jako sumę nowego szeregu otrzymać dowolną, z góry zadaną liczbę (zobacz: szereg).

Wszystkie poniższe twierdzenia rozstrzygają o zbieżności bezwzględnej szeregu $\sum_{n=1}^\infty a_n$. Zauważmy, że zbieżność szeregu $\sum_{n=1}^\infty a_n$ jest równoważna zbieżności szeregu $\sum_{n=N}^\infty a_n$, gdzie $N$ jest dowolną liczbą naturalną. Oznacza to, że zbieżność szeregu nie zależy od skończonej liczby jego wyrazów. Ta obserwacja pozwala na nieznaczne wzmocnienie poniższych kryteriów, przez dopisanie, że pewne warunki zachodzą dla dostatecznie dużych n, tzn istnieje liczba $N\in\mathbb{N}$ taka, że pewien warunek zachodzi dla $n>N$. W kryteriach d'Alemberta i Raabego wystarczy założyć, że $a_n\neq 0$ zachodzi dla dostatecznie dużych n. W kryterium porównawczy wystarczy założyć, że $a_n\leq b_n$ zachodzi dla dostatecznie dużych n. W kryterium całkowym wystarczy założyć, że $f(x)$ jest funkcją monotonicznie malejącą dla $x>M$, gdzie $M>0$ jest pewną stałą.

Kryterium d'Alemberta

Kryterium d'Alemberta: Załóżmy, że $a_n\neq 0$ dla każdego $n\in\mathbb{N}$. Jeżeli $\limsup_{n \to \infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}<1$, to szereg $\sum_{n=1}^\infty a_n$ jest zbieżny; jeżeli istnieje liczba $N$ taka, że nierówność $\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}\geq 1$ zachodzi dla wszystkich $n$ większych od $N$, to szereg $\sum_{n=1}^\infty a_n$ jest rozbieżny.

Kryterium nie przesądza o zbieżności lub rozbieżności szeregu w przypadku, gdy granica $\limsup_{n \to \infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}$ jest równa 1. Warto zauważyć, że warunek $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} >1$ (podobnie jak $\liminf_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} >1$) implikuje, że istnieje $N$ taka, że nierówność $\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}\geq 1$ zachodzi dla wszystkich $n>N$, a zatem implikuje rozbieżność szeregu $\sum_{n=1}^\infty a_n$.

W przypadku, gdy szereg $\sum_{n=1}^\infty a_n$ ma wyrazy dodatnie kryterium d'Alemberta można zapisać w następującej uproszczonej i łatwiejszej do zapamiętania formie:

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} <1 \Rightarrow$ szereg $\sum_{n=1}^\infty a_n$ jest zbieżny

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} >1 \Rightarrow$ szereg $\sum_{n=1}^\infty a_n$ jest rozbieżny

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} =1 \Rightarrow$ kryterium nie rozstrzyga

Dowód: Załóżmy, że $\limsup_{n \to \infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}<1$. Oznacza to, że istnieją liczby $N\in\mathbb{N}$ oraz $q\in(0,1)$ takie, że dla każdego $n\geq N$ mamy $\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}\leq q$. Zatem $|a_{n+1}|\leq |a_n|q$ dla każdego $n\geq N$. Stąd otrzymujemy $|a_{N+n}|\leq |a_N|q^{n}$ dla każdego $n> N$. Szereg

$|a_N|+|a_N|q^{1}+|a_N|q^{2}+|a_N|q^{3}+\dots$

jest zbieżny, gdyż jest szeregiem geometrycznym o ilorazie $|q|<1$. Jest on zbieżną majorantą szeregu

$|a_N|+|a_{N+1}|+|a_{N+2}|+|a_{N+3}|+\dots$.

Na mocy kryterium porównawczego szereg $\sum_{n=1}^\infty |a_n|$ jest zbieżny, co implikuje zbieżność szeregu $\sum_{n=1}^\infty a_n$.

Załóżmy teraz, że istnieje liczba $N$ taka, że nierówność $\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}\geq 1$ zachodzi dla wszystkich $n$ większych od $N$. Oznacza to, że $|a_{n+1}|\geq |a_n|$ dla $n>N$, czyli

$0<|a_{N+1}|\leq |a_{N+2}|\leq |a_{N+3}|\leq\dots$

To oznacza, że ciąg $(a_n)$ nie zbiega do zera. Zatem szereg $\sum_{n=1}^\infty a_n$ nie jest zbieżny, bo nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregów.

Przykład 1. Kryterium d'Alemberta jest szczególnie pomocne, gdy wyraz ogólny $a_n$ szeregu $\sum_{n=1}^\infty a_n$ zawiera symbol silni. Rozważmy następujący przykład $\sum_{n=1}^\infty\frac{n!}{n^n}$.

Wyraz ogólny tego szeregu jest postaci $a_n=\frac{n!}{n^n}$. Mamy

$\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{n!}{n^n}}=\frac{(n+1)!}{n!}\cdot\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}= \frac{n!(n+1)}{n!}\cdot\frac{n^n}{(n+1)^{n}(n+1)}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^n=\frac{1}{(1+\frac{1}{n})^n}$.

Zatem korzystając z faktu, że $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e$ otrzymujemy $\lim_{n \to \infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\frac{1}{e}<1$, co dowodzi zbieżności rozważanego szeregu.

Przykład 2. Kryterium d'Alemberta nie pozwala rozstrzygnąć czy szereg $\sum_{n=1}^\infty a_n$ jest zbieżny, gdy $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} =1$. Aby to zilustrować rozważmy dwa szeregi $\sum_{n=1}^\infty a_n$ i $\sum_{n=1}^\infty b_n$, gdzie $a_n=\frac{1}{n}$ i $b_n=\frac{1}{n^2}$. Wówczas $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n \to \infty} \frac{b_{n+1}}{b_n} =1$. Jednak $\sum_{n=1}^\infty a_n$ jest rozbieżny jako szereg harmoniczny, a $\sum_{n=1}^\infty b_n$ jest zbieżny, jako szereg harmoniczny rzędu 2.

Kryterium Raabego

Jeżeli kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga czy dany szereg jest zbieżny lub rozbieżny, warto skorzystać z kryterium Raabego:

$\lim_{n \to \infty} n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right) >1 \Rightarrow$ szereg $\sum_{n=1}^\infty a_n$ jest zbieżny

$\lim_{n \to \infty} n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right) <1 \Rightarrow$ szereg $\sum_{n=1}^\infty a_n$ jest rozbieżny

$\lim_{n \to \infty} n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right) =1 \Rightarrow$ kryterium nie rozstrzyga

Należy zwrócić uwagę na fakt, że, aby szereg był zbieżny, granica z kryterium Raabego musi być większa od 1 – inaczej niż w przypadku kryterium d'Alemberta i Cauchy'ego.

Kryterium Kummera

Szereg $\sum a_n$ dla którego dla dostatecznie dużych n $a_n>0$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją ciąg liczb dodatnich $(b_n)$ i stała $\rho>0$ takie, że dla dostatecznie dużych n zachodzi:

$K_n=\frac{a_n}{a_{n+1}}b_n-b_{n+1}\geq\rho$

Dla ciągu $b_n=1$ wynika stąd pierwsza część kryterium d'Alemberta.(bo $\frac{1}{1+\rho}<1$)

Dla ciągu $b_n=n$ wynika stąd pierwsza część kryterium Raabego.(bo $n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)\geq 1+\rho>1$)

Kryterium Cauchy'ego

Kryterium Cauchy'ego (nazywane także kryterium pierwiastkowym Cauchy'ego dla odróżnienia od kryterium całkowego Cauchy'ego): Jeżeli granica ciągu $\sqrt[n]{|a_n|}$ istnieje i jest mniejsza od 1, to szereg $\sum_{n=1}^\infty a_n$ jest zbieżny; jeżeli granica ta jest większa od 1, szereg jest rozbieżny.

Jak w przypadku poprzedniego kryterium, jest to wersja uproszczona. Wersja subtelniejsza mówi, że jeśli granica górna ciągu $\sqrt[n]{|a_n|}$ jest mniejsza od 1, to szereg jest zbieżny; jeżeli granica dolna jest większa od 1, to szereg jest rozbieżny.

Dowód. Załóżmy, że $\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}<1$. To oznacza, że istnieją liczby $m$ i $q\in(0,1)$ takie, że $\sqrt[n]{|a_n|}\leq q$ dla każdego $n>m$. To oznacza, że $|a_n|\leq q^n$ dla $n>m$, czyli

$|a_{m+1}|+|a_{m+2}|+|a_{m+3}|+\dots\leq q^{m+1}+q^{m+2}+q^{m+3}+\dots<\infty$,

co dowodzi zbieżności bezwzględnej szeregu $\sum_{n=1}^\infty a_n$.

Załóżmy teraz, że

(1) istnieje liczba $m$ taka, że $\sqrt[n]{|a_n|}\geq 1$ dla $n>m$.

Wówczas $|a_n|\geq 1$ dla $n>m$, więc szereg $\sum_{n=1}^\infty a_n$ jest rozbieżny, bo nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregów. Zauważmy, że warunki $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}>1$ oraz $\liminf_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}>1$ implikują warunek (1) i w konsekwencji implikują rozbieżność szeregu $\sum_{n=1}^\infty a_n$.

Przykład 1. W zastosowaniach kryterium Cauchy'ego przydatna jest znajomość następujących granic: $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1$ oraz $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1$ dla $a>0$. Rozważmy szereg $\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{2^n}$. Wówczas $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{n}{2^n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{n}}{\sqrt[n]{2^n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{n}}{2}=\frac12<1.$ Zatem na mocy kryterium Cauchy'ego szereg $\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{2^n}$ jest zbieżny.

Przykład 2. Kryterium Cauchy'ego nie pozwala rozstrzygnąć czy szereg $\sum_{n=1}^\infty a_n$ jest zbieżny, gdy $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} =1$. Aby to zilustrować rozważmy dwa szeregi $\sum_{n=1}^\infty a_n$ i $\sum_{n=1}^\infty b_n$, gdzie $a_n=\frac{1}{n}$ i $b_n=\frac{1}{n^2}$. Wówczas $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{b_n} =1$ (korzystamy z faktu, że $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1$). Jednak $\sum_{n=1}^\infty a_n$ jest rozbieżny jako szereg harmoniczny, a $\sum_{n=1}^\infty b_n$ jest zbieżny, jako szereg harmoniczny rzędu 2.

Twierdzenie. Kryterium Cauchy'ego jest silniejsze niż kryterium d'Alemberta, tzn. jeśli szereg $\sum_{n=1}^\infty a_n$ spełnia warunek kryterium d'Alemberta, to spełnia też warunek Cauchy'ego, ale nie na odwrót.

Dowód. Załóżmy, że $\sum_{n=1}^\infty a_n$ spełnia warunek kryterium d'Alemberta, tzn. $\limsup_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}<1$. Wówczas istnieją liczba $k\in\mathbb{N}$ oraz $\rho<1$ taka, że $\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}\leq\rho$ dla dowolnego $n\geq k$. Wówczas $|a_{k+n}|\leq\rho^n|a_k|$ dla każdego $n\geq k$. Zatem

$\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[k+n]{|a_{k+n}|}\leq\limsup_{n\to\infty}(\rho^n|a_k|)^{\frac{1}{k+n}}=\lim_{n\to\infty}\rho^{\frac{n}{k+n}}\lim_{n\to\infty}|a_k|^{\frac{1}{k+n}}=\rho\cdot 1=\rho<1$.

Twierdzenia tego nie da się odwrócić, co ilustruje następujący przykład.

Przykład 3. Rozważmy szereg

$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{4^3}+...$

Wówczas ogólny wyraz tego szeregu jest postaci $a_{2n}=a_{2n-1}=\frac{1}{4^n}$. Zauważmy, że $\sqrt[2n]{a_{2n}}=\sqrt[2n]{\frac{1}{4^n}}=\frac12\;\;$ oraz $\;\;\sqrt[2n-1]{a_{2n}}=\sqrt[2n-1]{\frac{1}{4^n}}=\frac{1}{(4^n)^\frac{1}{2n-1}}\to\frac12$. Zatem na mocy kryterium Cauchy'ego szereg $\sum_{n=1}^\infty a_n$ jest zbieżny. Z drugiej strony $\frac{a_{2n}}{a_{2n-1}}=1$ dla każdego $n\in\mathbb{N}$, co pokazuje, że szereg $\sum_{n=1}^\infty a_n$ nie spełnia warunku z kryterium d'Alemberta.

Kryterium całkowe

Szereg o wyrazie ogólnym $a_n = f(n)$ jest zbieżny, jeżeli $f(x)$ jest funkcją monotonicznie malejącą i całka niewłaściwa $\int\limits_a^\infty f(x)\;dx$ jest zbieżna; natomiast jeżeli całka ta jest rozbieżna, to szereg o wyrazie ogólnym $f(n)$ jest rozbieżny. Przy tym dolną granicę całkowania a należy tak obrać, żeby funkcja $f(x)$ w przedziale $a < x < \infty$ była oznaczona i nie miała punktów nieciągłości.

Kryterium porównawcze

Niech $\sum_{n=1}^\infty a_n$ i $\sum_{n=1}^\infty b_n$ będą szeregami o wyrazach nieujemnych. Jeśli $a_n\leq b_n$ dla każdego $n\in\mathbb{N}$, to

(i) jeśli $\sum_{n=1}^\infty b_n$ jest zbieżny, to $\sum_{n=1}^\infty a_n$ jest zbieżny;

(ii) jeśli $\sum_{n=1}^\infty a_n$ jest rozbieżny, to $\sum_{n=1}^\infty b_n$ jest rozbieżny.

Dowód: Na początek zauważmy, że implikacja (ii) wynika z (i) na mocy tautologii $(p\Rightarrow q)\Rightarrow(\neg q\Rightarrow\neg p)$. Pokażemy (i). W tym celu załóżmy, że $\sum_{n=1}^\infty b_n$ jest zbieżny do pewnej liczby $B$. Oznacza to, że

$\lim_{k\to\infty}\sum_{n=1}^k b_n=B$.

Skoro $a_n\leq b_n$ dla każdego $n\in\mathbb{N}$, to $0\leq\sum_{n=1}^ka_n\leq \sum_{n=1}^kb_n$ dla każdego $k\in\mathbb{N}$. Skoro ciąg $(\sum_{n=1}^k b_n)_{k=1}^\infty$ jest zbieżny, to jest ograniczony. Zatem ograniczony jest też ciąg $(\sum_{n=1}^k a_n)_{k=1}^\infty$. Pokażemy, że ciąg $(\sum_{n=1}^k a_n)_{k=1}^\infty$ jest monotoniczny. Niech $k<l$. Wtedy $\sum_{n=1}^l a_n-\sum_{n=1}^k a_n=a_{k+1}+a_{k+2}+\dots+a_l\geq 0$. To pokazuje, że $(\sum_{n=1}^k a_n)_{k=1}^\infty$ jest niemalejący i ograniczony, a zatem zbieżny. To oznacza, że zbieżny jest szereg $\sum_{n=1}^\infty a_n$.

Implikacje (i) oraz (ii) te nie dają się odwrócić. Niech $a_n=\frac{1}{2^n}$ i $b_n=1$ dla każdego $n=1,2,3,\dots$. Wówczas $a_n\leq b_n$ oraz $\sum_{n=1}^\infty a_n=1$ oraz $\sum_{n=1}^\infty b_n=\infty$. To pokazuje, że jeśli $0\leq a_n\leq b_n$, to z rozbieżności $\sum_{n=1}^\infty b_n$ nie wynika rozbieżność $\sum_{n=1}^\infty a_n$, a ze zbieżności $\sum_{n=1}^\infty a_n$ nie wynika zbieżność $\sum_{n=1}^\infty b_n$.

Warunek $a_n\leq b_n$ dla każdego $n\in\mathbb{N}$ można osłabić zakładając jedynie, że istnieje liczba $n_0\in\mathbb{N}$ taka, że dla każdego $n\geq n_0$ mamy $a_n\leq b_n$ (mówimy wtedy, że nierówność $a_n\leq b_n$ zachodzi dla prawie wszystkich $n\in\mathbb{N}$).

Stosowanie tego kryterium wymaga pewnego zasobu szeregów, o których wiadomo, że są zbieżne. Często wygodnie jest porównywać dany szereg z szeregiem harmonicznym lub geometrycznym.

Kryterium zagęszczania

Następujące proste kryterium również pochodzi od Cauchy'ego. Załóżmy, że szereg $\sum_{n=1}^\infty a_n$ jest taki, że ciąg $(|a_n|)_{n=1}^\infty$ jest malejący, a $p$ jest liczbą naturalną większą od 1. Jeżeli zbieżny jest szereg $\sum_{n=1}^\infty p^na_{p^n}$, to zbieżny jest szereg $\sum_{n=1}^\infty a_n$.

Kryterium porównawcze w wersji granicznej (nazywane też kryterium ilorazowym.)

Jeżeli mamy szeregi $\sum_{n=1}^\infty a_n$, $\sum_{n=1}^\infty b_n$ i jeden z nich jest zbieżny, oraz $0 < \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} < \infty$, to drugi również jest zbieżny. Podobnie gdy jeden z szeregów jest rozbieżny, a granica ta jest skończona i dodatnia, możemy wnioskować, że drugi również jest rozbieżny.

Ponadto:

Jeżeli $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=0$ i $\sum_{n=1}^\infty b_n$ jest zbieżny, to $\sum_{n=1}^\infty a_n$ jest zbieżny.

Jeżeli $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=\infty$ i $\sum_{n=1}^\infty a_n$ jest zbieżny, to $\sum_{n=1}^\infty b_n$ jest zbieżny.

Szeregi o wyrazach dowolnych

Kryterium Leibniza

Jeżeli ciąg $(a_{n})$ spełnia następujące dwa warunki:

1. $\lim_{n \to \infty} a_n=0$,
2. ciąg $a_{n}$ jest nierosnący,

to szereg $\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^{n}a_{n}\$ jest zbieżny.

Dowód: Z założenia wynika, że $a_0\geq a_1\geq a_2\geq a_3\geq\dots\geq 0$. Rozważmy podciąg ciągu sum częściowych postaci $\left(\sum_{n=0}^{2N-1}(-1)^{n}a_n\right)_{N=1}^\infty$. Pokażemy, że ciąg ten jest niemalejący i ograniczony z góry, a zatem zbieżny. Mamy

$\sum_{n=0}^{2N+1}(-1)^{n}a_n-\sum_{n=0}^{2N-1}(-1)^{n}a_n=a_{2N}-a_{2N+1}\geq 0$ (ciąg jest niemalejący)

oraz

$\sum_{n=0}^{2N+1}(-1)^{n}a_n=a_0-a_1+a_2-a_3+\dots+a_{2N}-a_{2N+1}\leq a_0-a_2+a_2-a_4+\dots+a_{2N}-a_{2N+2}=a_0-a_{2N+2}\leq a_0$ (ciąg jest ograniczony).

Niech $s=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^{2N+1}a_n$. Aby zakończyć dowód trzeba pokazać, że $s=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^{2N}a_n$. Mamy

$\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^{2N}a_n=\lim_{N\to\infty}\left(\sum_{n=0}^{2N-1}a_n+a_{2N}\right)=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^{2N-1}a_n+\lim_{N\to\infty}a_{2N}=s+0$.

Kryterium Abela

Jeżeli szereg $\sum_{n=1}^\infty a_n$ jest zbieżny, a ciąg $(b_n)$ jest monotoniczny i ograniczony, to szereg $\sum_{n=1}^\infty a_nb_n$ jest zbieżny.

Kryterium Dirichleta

Jeżeli ciąg sum częściowych $\left(\sum_{k=1}^n a_k\right)_{n=1}^\infty$ szeregu $\sum_{n=1}^\infty a_n$ jest ograniczony, a ciąg $(b_n)$ jest monotoniczny i zbieżny do 0, to szereg $\sum_{n=1}^\infty a_nb_n$ jest zbieżny.