Zbieżność jednostajna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Zbieżność jednostajna – własność ciągu funkcji o wartościach w danej przestrzeni metrycznej.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech X będzie niepustym zbiorem, a (Y, \varrho_Y) oznacza przestrzeń metryczną. Ciąg (f_n)_{n \in \mathbb N} funkcji f_n\colon X \to Y jest jednostajnie zbieżny do funkcji f\colon X \to Y, jeżeli

\forall_{\epsilon > 0}\; \exists_{N \in \mathbb N}\; \forall_{n \geqslant N}\; \forall_{x \in X}\; \varrho_Y\big(f_n(x), f(x)\big) < \epsilon.

Zapis ten można rozumieć w następujący sposób:

\lim_{n \to \infty}\;\sup_{x \in X}\big(\varrho_Y(f_n(x), f(x)\big)) = 0.

Jeśli ciąg funkcji (f_n) zbiega jednostajnie do funkcji f, to o f mówi się, że jest granicą jednostajną ciągu (f_n) i pisze f_n \rightrightarrows f.

Jeżeli X jest przestrzenią topologiczną, to ciąg (f_n)_{n \in \mathbb N} funkcji f_n\colon X \to Y jest niemal jednostajnie zbieżny do funkcji f\colon X \to Y, jeżeli dla każdego zbioru zwartego K \subseteq X ciąg (f_n|_K) jest jednostajnie zbieżny.

Rys historyczny[edytuj | edytuj kod]

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Każdy ciąg stały jest zbieżny jednostajnie (do swojego stałego wyrazu).
  • Granica jednostajna ciągu funkcji które nie są ciągłe w żadnym punkcie może być ciągła. Rozważmy np. funkcję Dirichleta I_\mathbb Q i połóżmy f_n(x) = 2^{-n} I_\mathbb Q(x) dla x \in \mathbb R. Wówczas f_n \rightrightarrows 0.
  • Na mocy twierdzenia Weierstrassa każda funkcja ciągła f\colon [0,1] \to \mathbb R jest granicą jednostajną ciągu wielomianów.
  • Rozważmy funkcje f_n\colon [0,1] \to [0,1] zadane w dziedzinie x \in [0,1] wzorem f_n(x) = x^n dla n \in \mathbb N. Niech f\colon [0,1] \to [0,1] będzie dana wzorem
f(x) = \begin{cases} 0 & \mbox{dla } 0 \leqslant x < 1, \\ 1 & \mbox{dla } x = 1. \end{cases}
Wówczas f_n \to f, lecz f_n \not \rightrightarrows f.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Zbieżność jednostajna pociąga zbieżność punktową.
  • Jeśli f, g, f_n, g_n\colon \mathbb R \to \mathbb R oraz f_n \rightrightarrows f i g_n \rightrightarrows g, a \alpha, \beta \in \mathbb R, to
    \alpha f_n + \beta g_n \rightrightarrows \alpha f + \beta g,
    jeśli dodatkowo funkcje f i gograniczone, to f_n g_n \rightrightarrows fg,
    jeśli ponadto dla pewnego M > 0 dla każdego x \in \mathbb R zachodzi \big|g(x)\big| > M, to \tfrac{f_n}{g_n} \rightrightarrows \tfrac{f}{g}.
  • Jeśli f_n, f\colon [0,1] \to \mathbb R są ciągłe i f_n \to f oraz \forall_{n \in \mathbb N}\; \forall_{x \in [0,1]}\; f_n(x) \leqslant f_{n+1}(x), to f_n \rightrightarrows f. (twierdzenie Diniego)
  • Jeśli X, Y są przestrzeniami metrycznymi, a f_n\colon X \to Y, są funkcjami ciągłymi, przy czym f_n \rightrightarrows f, to f również jest funkcją ciągłą.
  • Jeśli X, Y są przestrzeniami metrycznymi, Y jest przestrzenią zupełną, a f_n\colon X \to Y, to:

f_n \rightrightarrows f, do pewnej funkcji f\colon X\to Y wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg (f_n) spełnia jednostajny warunek Cauchy’ego, tzn.

\forall_{\varepsilon>0}\exists_{N\in\mathbb{N}}\forall_{n,m\geq N}\forall_{x\in X}\;\; \rho_{Y}(f_n(x),f_m(x))<\varepsilon.

Pojęcia pokrewne[edytuj | edytuj kod]

Austriacki matematyk Hans Hahn wprowadził w 1921 następujące pojęcia.

Niech X, Y będą przestrzeniami metrycznymi, a f_n, f\colon X \to Y będą dla n \in \mathbb N dowolnymi funkcjami.

Ciąg (f_n) zbiega ciągle do funkcji f, jeśli
dla każdego ciągu (x_n) elementów przestrzeni X, jeśli x_n \to x, to f_n(x_n) \to f(x).
Ciąg (f_n) zbiega ciągle w silnym sensie do funkcji f, jeśli
dla każdego ciągu (x_n) elementów przestrzeni X, jeśli ciąg \big(f(x_n)\big) jest zbieżny w Y, to także ciąg \big(f_n(x_n)\big) jest zbieżny oraz f(x_n) \to f_n(x_n).

Zbieżność jednostajna pociąga ciągłą zbieżność w silnym sensie. Jeśli Y jest zwarta, to pojęcie zbieżności ciągłej w silnym sensie pokrywa sięz pojęciem zbieżności jednostajnej. Jeśli X jest zwarta, to pojęcie ciągłej zbieżności jest równoważne zbieżności jednostajnej.

Czytelnik może znaleźć więcej informacji w monografii Kazimierza Kuratowskiego

Zbieżność w przestrzeniach funkcji ciągłych[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: przestrzeń funkcyjna.

Niech X, Y będą przestrzeniami metrycznymi, a \mathcal C(X, Y) oznacza zbiór wszystkich funkcji ciągłych z przestrzeni X w przestrzeń Y. Dla f,g\in {\mathcal C}(X,Y) określamy

d(f, g) = \sup_{x \in X} \Bigg(\min\Big(1, \varrho_Y\big(g(x),f(x)\big)\Big)\Bigg)

Wówczas d jest metryką na zbiorze \mathcal C(X,Y) nazywaną metryką zbieżności jednostajnej.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Maurice Fréchet: Sur quelques points du calcul fonctionnel; Rend. del Circ. Mat. di Palermo, 22 (1906), 1-74.
  • Hahn, Hans: Theorie der reellen Funktionen. Berlin: J. Springer, 1921.
  • Kuratowski, Kazimierz: Topology; Volume I. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1966.