Lematy Borela-Cantellego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Lematy Borela-Cantellego[1]lematy dotyczące ciągów zdarzeń losowych, wykorzystywane m.in. w dowodzie mocnej wersji prawa wielkich liczb.

Niech A1, A2, A3, ... będzie nieskończonym ciągiem zdarzeń w danej przestrzeni probabilistycznej  (\Omega, \mathcal{F}, P).

Pierwszy lemat Borela-Cantellego[edytuj | edytuj kod]

Jeśli szereg prawdopodobieństw zdarzeń A1, A2, A3, ... jest zbieżny, tj.

\sum_{k=1}^\infty P(A_k) < +\infty

wtedy prawdopodobieństwo zajścia nieskończenie wielu spośród zdarzeń A1, A2, A3, ... wynosi 0, tj.

 P(\bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^\infty A_k) = 0

Dowód[edytuj | edytuj kod]

 P(A) = \lim_{n \to \infty} P(B_n)
  • Również z własności miary otrzymujemy nierówność:
 P(B_n)  = P(\bigcup_{k=n}^\infty A_k) \leqslant \sum\limits_{k=n}^{\infty} P(A_k) \  \ (\star)
 \left( 0 \leqslant P(B_n) \leqslant \sum\limits_{k=n}^{\infty} P(A_k) \right) \Rightarrow \left( P(B_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 \right)
  • Kończy to dowód, bo:  P(\bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^\infty A_k) = P(A) = \lim_{n \to \infty} P(B_n)= 0.

Drugi lemat Borela-Cantellego[edytuj | edytuj kod]

Jeśli zdarzenia Ainiezależne i szereg ich prawdopodobieństw jest rozbieżny, tj.

\sum_{k=1}^\infty P(A_k) = +\infty

wtedy prawdopodobieństwo zajścia nieskończenie wielu spośród zdarzeń A1, A2, A3, ... wynosi 1, tj.

 P(\bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^\infty A_k) = 1

Dowód[edytuj | edytuj kod]

 P(A) = \lim_{n \to \infty} P(B_n)
 P(B_n) = \lim_{m \to \infty} P(\bigcup_{k=n}^{m} A_k)
  • Zauważmy, że  \bigcup_{k=n}^m A_k = \Omega - \bigcap_{k=n}^m A_{k}^{'}, gdzie  A_k^' = \Omega - A_k
  •  P( \bigcup_{k=n}^m A_k) = 1 - P( \bigcap_{k=n}^m A_k^') = 1 - \prod\limits_{k=n}^m P(A_k^') = 1 - \prod\limits_{k=n}^m (1 - P(A_k))
Aby zakończyć dowód wystarczy pokazać, że  \prod\limits_{k=n}^m (1 - P(A_k)) \xrightarrow[m \to \infty]{} 0
  • Zauważmy:  x \geqslant 0 \Rightarrow \exp[-x] \geqslant 1-x  \  (\star)
  •  0 \leqslant \prod\limits_{k=n}^m (1 - P(A_k)) \leqslant^{(\star)} \prod\limits_{k=n}^m \exp[-P(A_k)] = \exp[-\sum\limits_{k=n}^m P(A_k)] \xrightarrow[m \to \infty]{} 0
  • Więc z twierdzenia o trzech ciągach:  \prod\limits_{k=n}^m (1 - P(A_k)) \xrightarrow[m \to \infty]{} 0
  • I ostatecznie  \left( P(B_n) = \lim_{m \to \infty} P(\bigcup_{k=n}^{m} A_k) = 1 \right)\Rightarrow \left( P(\bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^\infty A_k) = P(A) = \lim_{n \to \infty} P(B_n) = 1 \right) .

Wniosek[edytuj | edytuj kod]

  • Jeżeli zdarzenia  A_1, A_2, A_3, \dots niezależne to dla zdarzenia  A := \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^\infty A_k zachodzi warunek:
 P(A) = 0 \  lub \  P(A) = 1

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Rozważmy nieskończone ciągi rzutów monetą symetryczną. Niech Ak oznacza zdarzenie polegające na tym, że k-ty, k+1 i k+2 rzuty dały odpowiednio orła, reszkę i orła. Oczywiście zdarzenia A1, A2, A3, ..., An, ... nie są niezależne, ale zdarzenia A1, A4, A7, ... A3n+1, ... są. Każde zdarzenie Ak ma prawdopodobieństwo 1/8, więc szereg prawdopodobieństw tych zdarzeń jest rozbieżny. Z drugiego lematu Borela-Cantellego wnosimy więc, że z prawdopodobieństwem 1 sekwencja orzeł, reszka, orzeł wystąpi w niekończonym ciągu rzutów nieskończenie wiele razy.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. nie Cantelliego lecz Cantellego, zobacz poradnia językowa PWN

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Wyd. II. Warszawa: SCRIPT, 2001. ISBN 83-904564-5-1.