Lematy Borela-Cantellego

Lematy Borela-Cantellego – lematy dotyczące ciągów zdarzeń losowych, wykorzystywane m.in. w dowodzie mocnej wersji prawa wielkich liczb.

Niech A₁, A₂, A₃, ... będzie nieskończonym ciągiem zdarzeń w danej przestrzeni probabilistycznej $(\Omega, \mathcal{F}, P).$

Pierwszy lemat Borela-Cantellego

Jeśli szereg prawdopodobieństw zdarzeń A₁, A₂, A₃, ... jest zbieżny, tj.

$\sum_{k=1}^\infty P(A_k) < +\infty$

wtedy prawdopodobieństwo zajścia nieskończenie wielu spośród zdarzeń A₁, A₂, A₃, ... wynosi 0, tj.

$P(\bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^\infty A_k) = 0$

Dowód

• Niech $A:= \bigcap_{n=1}^\infty B_n, \ B_n := \bigcup_{k=n}^\infty A_k, \ B_{n+1} \subseteq B_n$
• Korzystając z własności miary:

$P(A) = \lim_{n \to \infty} P(B_n)$

• Również z własności miary otrzymujemy nierówność:

$P(B_n) = P(\bigcup_{k=n}^\infty A_k) \leqslant \sum\limits_{k=n}^{\infty} P(A_k) \ \ (\star)$

• Niech $S := \sum\limits_{k=1}^{\infty} P(A_k), \ S_{n-1} := \sum\limits_{k=1}^{n-1} P(A_k).$ Z założenia $S < \infty ,$ więc szereg jest zbieżny.
• Zauważmy, że: $\sum\limits_{k=n}^{\infty} P(A_k) = S - S_{n-1}$
• $\left( S_n \xrightarrow[n \to \infty]{} S \right) \Rightarrow \left( S - S_{n-1} \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 \right) \Rightarrow \left( \sum\limits_{k=n}^{\infty} P(A_k) \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 \right)$
• Korzystając z $(\star), P(B_n) \geqslant 0,$ oraz twierdzenia o trzech ciągach:

$\left( 0 \leqslant P(B_n) \leqslant \sum\limits_{k=n}^{\infty} P(A_k) \right) \Rightarrow \left( P(B_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 \right)$

• Kończy to dowód, bo: $P(\bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^\infty A_k) = P(A) = \lim_{n \to \infty} P(B_n)= 0.$

Drugi lemat Borela-Cantellego

Jeśli zdarzenia A_i są niezależne i szereg ich prawdopodobieństw jest rozbieżny, tj.

$\sum_{k=1}^\infty P(A_k) = +\infty$

wtedy prawdopodobieństwo zajścia nieskończenie wielu spośród zdarzeń A₁, A₂, A₃, ... wynosi 1, tj.

$P(\bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^\infty A_k) = 1$

Dowód

• Niech $A:= \bigcap_{n=1}^\infty B_n, \ B_n := \bigcup_{k=n}^\infty A_k, \ B_{n+1} \subseteq B_n$
• Korzystając z własności miary:

$P(A) = \lim_{n \to \infty} P(B_n)$

• Zapiszmy $B_n \,$ w postaci: $B_n = \bigcup_{m=n}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{m} A_k$
• Niech $C_{m,n} := \bigcup_{k=n}^m A_k , \ C_{m,n} \subseteq C_{m+1,n}$
• Korzystając ponownie z własności miary:

$P(B_n) = \lim_{m \to \infty} P(\bigcup_{k=n}^{m} A_k)$

• Zauważmy, że $\bigcup_{k=n}^m A_k = \Omega - \bigcap_{k=n}^m A_{k}^{'},$ gdzie $A_k^' = \Omega - A_k$
• $P( \bigcup_{k=n}^m A_k) = 1 - P( \bigcap_{k=n}^m A_k^') = 1 - \prod\limits_{k=n}^m P(A_k^') = 1 - \prod\limits_{k=n}^m (1 - P(A_k))$

Aby zakończyć dowód wystarczy pokazać, że $\prod\limits_{k=n}^m (1 - P(A_k)) \xrightarrow[m \to \infty]{} 0$

• Zauważmy: $x \geqslant 0 \Rightarrow \exp[-x] \geqslant 1-x \ (\star)$
• $0 \leqslant \prod\limits_{k=n}^m (1 - P(A_k)) \leqslant^{(\star)} \prod\limits_{k=n}^m \exp[-P(A_k)] = \exp[-\sum\limits_{k=n}^m P(A_k)] \xrightarrow[m \to \infty]{} 0$
• Więc z twierdzenia o trzech ciągach: $\prod\limits_{k=n}^m (1 - P(A_k)) \xrightarrow[m \to \infty]{} 0$
• I ostatecznie $\left( P(B_n) = \lim_{m \to \infty} P(\bigcup_{k=n}^{m} A_k) = 1 \right)\Rightarrow \left( P(\bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^\infty A_k) = P(A) = \lim_{n \to \infty} P(B_n) = 1 \right) .$

Wniosek

• Jeżeli zdarzenia $A_1, A_2, A_3, \dots$ są niezależne to dla zdarzenia $A := \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^\infty A_k$ zachodzi warunek:

$P(A) = 0 \ lub \ P(A) = 1$

Przykład

Rozważmy nieskończone ciągi rzutów monetą symetryczną. Niech A_k oznacza zdarzenie polegające na tym, że k-ty, k+1 i k+2 rzuty dały odpowiednio orła, reszkę i orła. Oczywiście zdarzenia A₁, A₂, A₃, ..., A_n, ... nie są niezależne, ale zdarzenia A₁, A₄, A₇, ... A_3n+1, ... są. Każde zdarzenie A_k ma prawdopodobieństwo 1/8, więc szereg prawdopodobieństw tych zdarzeń jest rozbieżny. Z drugiego lematu Borela-Cantellego wnosimy więc, że z prawdopodobieństwem 1 sekwencja orzeł, reszka, orzeł wystąpi w niekończonym ciągu rzutów nieskończenie wiele razy.

Zobacz też

• prawo iterowanego logarytmu
• proces Bernoulliego

Bibliografia

• Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Wyd. II. Warszawa: SCRIPT, 2001. ISBN 83-904564-5-1.