Nakrycie

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ujednoznacznienie Zobacz też: zastawa stołowa.
Nakrycie w otoczeniu U \ni x można sobie wyobrażać jako rzutowanie zbioru składającego się z dulikatów zbioru U \; na zbiór U \;.

Nakrycieciągła surjekcja p : Y \to X, taka że dla każdego x \in X istnieje przestrzeń dyskretna A\; oraz otoczenie U \ni x, że p^{-1} (U) i U \times Ahomeomorficzne[1]. Przestrzeń X\; nazywana jest bazą nakrycia, a przestrzeń Y\;przestrzenią nakrywającą. Nakrycie jest lokalnym homeomorfizmem.

Dla każdego x \in X zbiór Y_x = p^{-1} (x) jest nazywany włóknem nad punktem x\;. Moc n = |Y_x| włókna nad punktem x\; nazywa się krotnością nakrycia w punkcie x\;. Krotność jest funkcją lokalnie stałą. Gdy baza nakrycia jest spójna, krotność jest funkcją stałą, a nakrycie nazywane jest nakryciem n - krotnym[1]. Gdy przestrzeń nakrywająca jest jednospójna, nakrycie nazywamy nakryciem uniwersalnym.

Nakrycia pełnią ważną rolę w teorii homotopii, analizie harmonicznej, geometrii Riemanna i topologii różniczkowej.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Rozpatrzmy okrąg jednostkowy S1R2. Odwzorowanie p : RS1, gdzie

p (t) = ( \cos t, \sin t )

jest nakryciem, w którym dla każdy punkt S1 ma włókno nieskończone.[2] Jest to nakrycie uniwersalne.

Przypisy

  1. 1,0 1,1 Klaus Jänich: Topologia. Warszawa: PWN, 1991, s. 136-137.
  2. Artykuł o nakryciach w Encyklopedii Matematycznej Springera