Odwrotna dystrybuanta

Odwrotna dystrybuanta, funkcja kwantylowa – uogólniona funkcja odwrotna do dystrybuanty danego rozkładu prawdopodobieństwa. Zwykle oznaczana $F^{-1}(p)$.

Jeżeli dystrybuanta $F(x)$ jest funkcją ściśle rosnącą, wówczas funkcję odwrotną można zdefiniować jako

$F^{-1}(p)=\{x\in \mathbb {R} :p=F(x)\},$

gdzie $p\in (0,1).$

W przypadku, gdy dystrybuanta nie jest ściśle rosnąca, powyższa definicja nie jest jednoznaczna. Problemu tego unika się, definiując dystrybuantę odwrotną jako:

$F^{-1}(p)=\inf\{x\in \mathbb {R} :p\leqslant F(x)\},$

gdzie $p\in (0,1).$

Tak zdefiniowana dystrybuanta odwrotna ma następujące własności:

$F^{-1}(p)$ jest niemalejąca dla $p\in (0,1),$

$F^{-1}(p)$ jest lewostronnie ciągła dla $p\in (0,1),$

$F^{-1}(F(x))\leqslant x$ dla $x\in \mathbb {R}$ takiego, że $\Phi (x)\in (0,1),$

$p\leqslant F(F^{-1}(p))$ dla $p\in (0,1).$

Odwrotna dystrybuanta rozkładu normalnego

Szczególne znaczenie ma odwrotna dystrybuanta rozkładu normalnego. Może być ona zapisana za pomocą funkcji specjalnej, zwanej funkcją błędu $\operatorname {erf} {:}$

$F_{\mu ,\sigma ^{2}}^{-1}(p)=\mu +\sigma \Phi ^{-1}(p)=\mu +\sigma {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1),\quad p\in (0,1).$

gdzie:

$\mu$ – wartość oczekiwana rozkładu,

$\sigma ^{2}$ – wariancja rozkładu.

$F_{\mu ,\sigma ^{2}}^{-1}(p)$ – odwrotna dystrybuanta rozkładu normalnego o średniej $\mu$ i wariancji $\sigma ^{2}$

$\Phi ^{-1}$ – odwrotna dystrybuanta standaryzowanego rozkładu normalnego ${\mathcal {N}}(0,1)$.

Zastosowanie

Odwrotną dystrybuantę stosuje się m.in. przy przekształcaniu zmiennych losowych o rozkładzie równomiernym na zmienne losowe o dowolnym innym rozkładzie prawdopodobieństwa, wg wzoru:

$Y=F^{-1}(X),$

gdzie:

$Y$ – zmienna losowa o pożądanym rozkładzie prawdopodobieństwa,

$F$ – dystrybuanta tego rozkładu,

$X$ – zmienna losowa o rozkładzie równomiernym w przedziale (0,1).