Odwrotna dystrybuanta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Odwrotna dystrybuanta - uogólniona funkcja odwrotna do dystrybuanty danego rozkładu prawdopodobieństwa. Zwykle oznaczana \Phi^{-1}(p)

Jeżeli dystrybuanta \Phi(x) jest funkcją ściśle rosnącą, wówczas funkcję odwrotną można zdefiniować jako

\Phi^{-1}(p) = \{ x \in \R : p = \Phi(x) \}, gdzie  p \in (0,1) .

W przypadku, gdy dystrybuanta nie jest ściśle rosnąca, powyższa definicja nie jest jednoznaczna. Problemu tego unika się definiując dystrybuantę odwrotną jako:

\Phi^{-1}(p) = \inf \{ x \in \R : p \le \Phi(x) \}, gdzie  p \in (0,1) .

Tak zdefiniowana dystrybuanta odwrotna ma następujące własności:

  • \Phi^{-1}(p) jest rosnąca dla  p \in (0,1) ,
  • \Phi^{-1}(p) jest lewostronnie ciągła dla  p \in (0,1) ,
  • \Phi^{-1}(\Phi(x)) \le x dla x \in \R takiego, że \Phi(x) \in (0,1),
  • p \le \Phi(\Phi^{-1}(p)) dla  p \in (0,1) .

Odwrotna dystrybuanta rozkładu normalnego[edytuj | edytuj kod]

Szczególne znaczenie ma odwrotna dystrybuanta rozkładu normalnego. Może być ona zapisana za pomocą funkcji specjalnej, zwanej funkcją błędu \operatorname{erf}:


\Phi_{\mu,\sigma^2}^{-1}(p)
= \mu + \sigma\Phi^{-1}(p)
= \mu + \sigma\sqrt2
\; \operatorname{erf}^{-1}(2p - 1),
\quad p\in(0,1).

gdzie: