Operator całkowicie ciągły

Operator całkowicie ciągły (albo operator Dunforda-Pettisa) – operator liniowy $T:X\to Y$ między przestrzeniami Banacha $X$ i $Y$ o tej własności, że dla każdego słabo zbieżnego ciągu $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$ elementów przestrzeni $X$ ciąg wartości $(Tx_{n})_{n=1}^{\infty }$ jest zbieżny w sensie normy przestrzeni $Y.$ Operatorami całkowicie ciągłymi w kontekście przestrzeni ℓ₂ i L₂ zajmował się David Hilbert (każdy operator całkowicie ciągły na przestrzeni Hilberta jest zwarty). Ogólniejsze ujęcie pochodzi od Frigyesa Riesza i Stefana Banacha.

Terminologia

W literaturze dotyczącej teorii operatorów na przestrzeniach Hilberta, przez pojęcie operator całkowicie ciągły niektórzy autorzy rozumieją operator zwarty, tj. operator o tej własności, że obrazy zbiorów ograniczonych są relatywnie zwarte. Dla operatorów działających między przestrzeniami Hilberta pojęcia te są równoważne jednak są one istotnie różne w przypadku operatorów działających między ogólniejszymi przestrzeniami Banacha.

Własności

• Każdy operator całkowicie ciągły jest ograniczony oraz odwzorowuje słabe ciągi Cauchy’ego w ciągi zbieżne w sensie normy. Istotnie, niech $T:X\to Y$ będzie całkowicie ciągłym operatorem liniowym między przestrzeniami Banacha. Ponadto, niech $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$ będzie słabym ciągiem Cauchy’ego w $X,$ który nie jest zbieżny w normie. Istnieją wówczas $\delta >0$ oraz ściśle rosnące ciągi liczb naturalnych $(n_{k})_{k=1}^{\infty },(m_{k})_{n=1}^{\infty }$ o tej własności, że dla wszystkich $k$ zachodzi

${}\,\,{}\quad \|Tx_{n_{k}}-Tx_{m_{k}}\|\geqslant \delta .$

(1)

Z drugiej jednak strony, ciąg $(x_{n_{k}}-x_{m_{k}})_{k=1}^{\infty }$ jest słabo zbieżny do zera, a więc z założenia o tym, że T jest całkowicie ciągły wynika, że

$\lim _{k\to \infty }\|Tx_{n_{k}}-Tx_{m_{k}}\|=0;$

co prowadzi do sprzeczności z (1).

• Każdy operator zwarty jest całkowicie ciągły. Istotnie, niech $T:X\to Y$ będzie operatorem zwartym między przestrzeniami Banacha. Gdyby $T$ nie był całkowicie ciągły, to istniałby taki słabo zbieżny do zera ciąg $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$ w przestrzeni $X,$ że ciąg $(Tx_{n})_{n=1}^{\infty }$ nie jest zbieżny do zera. Ze zwartości wynika jednak, że ciąg $(Tx_{n})_{n=1}^{\infty }$ ma podciąg zbieżny do pewnego (niezerowego) elementu $y$ przestrzeni $Y;$ element. Ponieważ ciąg $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$ jest słabo zbieżny do zera, ze (słabej) ciągłości $T$ wynika, że również ciąg $(Tx_{n})_{n=1}^{\infty }$ jest słabo zbieżny do zera. Oznacza to, że $y=0;$ sprzeczność.
• Operator identycznościowy na przestrzeni Banacha jest całkowicie ciągły wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń ta ma własność Schura.

Struktura ideału operatorowego

Rodzina ${\mbox{Cc}}$ wszystkich operatorów całkowicie ciągłych między dowolnymi przestrzeniami Banacha tworzy ideał operatorowy w sensie Pietscha. W szczególności, rodzina ${\mbox{Cc}}(X)$ operatorów całkowicie ciągłych na danej przestrzeni Banacha $X$ tworzy domknięty ideał w algebrze wszystkich operatorów ograniczonych na $X.$

Własność Dunforda-Pettisa

Przestrzeń Banacha $X$ ma własność Dunforda-Pettisa (DPP), gdy dla dowolnej przestrzeni Banacha $Y$ każdy operator słabo zwarty $T:X\to Y$ jest całkowicie ciągły. Żadna nieskończenie wymiarowa przestrzeń refleksywna $X$ nie ma własności Dunforda-Pettisa ponieważ każdy operator ograniczony $T$ na $X$ (w tym identyczność) jest słabo zwarty. Przykładami przestrzeni mającymi własność DPP są przestrzenie ℓ₁, L₁[0,1] oraz przestrzenie $C(K)$ funkcji ciągłych na zwartej przestrzeni Hausdorffa z normą supremum.

Bibliografia

• George Bachman, Lawrence Narici: Functional Analysis. Wyd. 2. Dover Publications, 1998, seria: Dover Books on Mathematics.
• Israel Gelfand, Naum Ya. Vilenkin: Generalized Functions, Volume 4: Applications of Harmonic Analysis. Academic Press, 1964.
• Albert Pietsch: Operator Ideals. Amsterdam: North-Holland, 1980, s. 47, 51.