Operator słabo zwarty

Operator słabo zwarty – operator liniowy $T\colon X\to Y$ pomiędzy przestrzeniami unormowanymi $X$ i $Y$ o tej własności, że domknięcie obrazu kuli jednostkowej $B$ przestrzeni $X$ jest słabo zwartym podzbiorem przestrzeni $Y.$ Każdy operator słabo zwarty jest ograniczony (a więc ciągły). Pojęcie operatora słabo zwartego definiowane jest czasami dla szerszych klas przestrzeni liniowo-topologicznych.

Rodzina wszystkich operatorów słabo zwartych określonych pomiędzy przestrzeniami Banacha $X$ i $Y$ oznaczana jest często symbolem ${\mathcal {W}}(X,Y)$ (lub ${\mathcal {W}}(X),$ gdy $X=Y$ ) i jest domkniętą podprzestrzenią przestrzeni wszystkich operatorów ograniczonych z przestrzeni $X$ w przestrzeń $Y.$ Klasa wszystkich operatorów słabo zwartych pomiędzy dowolnymi przestrzeniami jest ideałem operatorowym (w sensie Pietscha). W szczególności, rodzina wszystkich operatorów słabo zwartych na $X$ jest domkniętym ideałem algebry wszystkich operatorów ograniczonych na $X.$

Własności[edytuj | edytuj kod]

Operator ograniczony $T\colon X\to Y$ jest słabo zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy $T^{**}[X^{**}]$ jest podzbiorem przestrzeni $Y$ (utożsamionej z podprzestrzenią przestrzeni $Y^{**}$ ). W szczególności, przestrzeń Banacha $X$ jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy każdy operator ograniczony na $X$ jest słabo zwarty.
Każdy operator zwarty jest słabo zwarty. Przeciwna implikacja na ogół nie zachodzi: operator identycznościowy na nieskończenie wymiarowej przestrzeni refleksywnej jest słabo zwarty, ale nie jest zwarty.
Twierdzenie Gantmacher: Operator ograniczony działający pomiędzy przestrzeniami Banacha jest słabo zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy operator do niego sprzężony jest słabo zwarty.
Jeżeli $E$ jest $p$ -tą przestrzenią Jamesa bądź $E$ jest przestrzenią $\ell ^{\infty },$ to ${\mathcal {W}}(E)$ jest jedynym ideałem maksymalnym w algebrze operatorów ograniczonych na $E$ ^[1].
Jeżeli $K$ jest przeliczalną zwartą przestrzenią metryczną, to każdy operator słabo zwarty na przestrzeni $C(K)$ jest zwarty.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

↑ N.J. Laustsen, Maximal ideals in the algebra of operators on certain Banach spaces, „Proc. Edinburgh Math. Soc.” 45 (2002), s. 523–546.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

John B. Conway: A course in functional analysis. New York: Springer-Verlag, 1990. ISBN 0-387-97245-5.
Joe Diestel, Jerry J. Uhl: Vector Measures. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1977.
Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag: New York, 1998, s. 339–345, seria: Graduate Texts in Mathematics 183.
Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: PWN, 1976.
Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2009. ISBN 978-83-01-15802-6.

[1] N.J. Laustsen, Maximal ideals in the algebra of operators on certain Banach spaces, „Proc. Edinburgh Math. Soc.” 45 (2002), s. 523–546.

[1]