Brzeg (matematyka)

Zbiór (jasnoniebieski) wraz z jego brzegiem (ciemnoniebieski)

Brzeg – zbiór punktów „granicznych” danego zbioru.

Zachowanie funkcji na brzegu dziedziny może się znacząco różnić od zachowania w jego wnętrzu (tzn. w dziedzinie z wyłączeniem brzegu); z tego też powodu w analizie matematycznej pochodne funkcji rozpatruje się zwykle wyłącznie na (niepustych) zbiorach bez brzegu, tzw. zbiorach otwartych. Zadanie z postawionymi warunkami ograniczającymi rozwiązania równania różniczkowego na brzegu badanego zbioru nazywa się zagadnieniem brzegowym. Jednym ze znanych wyników rachunku różniczkowego i całkowego wiążącym pole powierzchni brzegu z obejmowaną przez niego objętością jest twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa (a w ogólności – twierdzenie Stokesa). Ważnym twierdzeniem topologicznym dotyczącym pojęcia brzegu jest twierdzenie Baire’a.

Opisane w artykule pojęcie brzegu różni się pojęć brzegów dla rozmaitości topologicznych, czy kompleksów symplicjalnych.

Definicja

Punkt B jest punktem brzegowym jasnozielonego zbioru, gdyż dowolne jego otoczenie (w szczególności błękitna kula o środku w tym punkcie) zawiera punkty należące do zbioru, jak i spoza niego

Niech dana będzie przestrzeń topologiczna $X$ oraz zawarty w niej zbiór $A\subset X.$

Brzegiem $\mathrm {bd} \;A$ zbioru $A$ nazywa się zbiór

$\mathrm {bd} \ A=\mathrm {cl} \ A\cap \mathrm {cl} \ A^{\mathrm {c} },$

lub równoważnie

$\mathrm {bd} \ A=\mathrm {cl} \ A\setminus \mathrm {int} \ A.$

gdzie $\mathrm {cl} \ A$ oraz $\mathrm {int} \ A$ oznaczają odpowiednio domknięcie i wnętrze zbioru $A,$ zaś $A^{\mathrm {c} }$ jego dopełnienie.

Obok oznaczenia $\mathrm {bd} \;A$ stosuje się też $\mathrm {fr} \;A,\ \partial A$ (od ang. boundary, frontier).

Punkty brzegu nazywa się punktami brzegowymi i z definicji wynika, że punkty brzegowe są to te punkty, których dowolne otoczenie zawiera punkt należący do $A,$ jak i taki, który należy do jego dopełnienia $A^{\mathrm {c} }$.

Własności

Wprost z definicji wynika, że brzeg zbioru jest:

• równy brzegowi jego dopełnienia,

  $\mathrm {bd} \ A=\mathrm {bd} \ A^{\mathrm {c} },$

• zawarty w domknięciu tego zbioru,

  $\mathrm {bd} \ A\subseteq \mathrm {cl} \ A,$

• zbiorem domkniętym,

  $\mathrm {bd} \ A=\mathrm {cl} (\mathrm {bd} \ A).$

Domknięcie jest sumą zbioru i jego brzegu,

$\mathrm {cl} \ A=A\cup \mathrm {bd} \ A,$

więcej: zbiór jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera swój brzeg oraz otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma punktów wspólnych ze swoim brzegiem. Brzeg zbioru jest pusty wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jest jednocześnie otwarty i domknięty; mówi się wtedy, że zbiór „nie ma brzegu”. Zbiór o pustym wnętrzu nazywa się zbiorem brzegowym.

Dla dowolnego zbioru $A$ zachodzi

$\mathrm {bd} \ A\supseteq \mathrm {bd} (\mathrm {bd} \ A),$

przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $A$ jest brzegowy (co ma miejsce np. wtedy, gdy $A$ jest otwarty lub domknięty). Ponieważ brzeg jest zbiorem domkniętym, to

$\mathrm {bd} (\mathrm {bd} \ A)=\mathrm {bd} {\big (}\mathrm {bd} (\mathrm {bd} \ A){\big )}$

dla dowolnego zbioru $A,$ czyli operator brzegu $\mathrm {bd}$ spełnia pewną słabszą postać idempotentności.

Przykłady

Brzeg składowych zbioru Mandelbrota o okresach od 1 do 6

Niech $\mathbb {R}$ oznacza zbiór liczb rzeczywistych z jego naturalną topologią. Wówczas

• $\mathrm {bd} \ \mathbb {R} =\mathrm {bd} \ \varnothing =\varnothing ,$
• $\mathrm {bd} \ (0,5)=\mathrm {bd} \ [0,5)=\mathrm {bd} \ (0,5]=\{0,5\},$
• $\mathrm {bd} \ \left\{1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\dots \right\}=\left\{0,1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\dots \right\},$
• $\mathrm {bd} \ \mathbb {Q} =\mathrm {bd} \ \mathbb {Q} ^{\mathrm {c} }=\mathbb {R} .$

Ostatnie dwa przykłady pokazują, że brzeg zbioru może być nadzbiorem danego zbioru.

Pojęcie brzegu zbioru w istotny sposób zależy od topologii przestrzeni: w naturalnej topologii przestrzeni euklidesowej $\mathbb {R} ^{2}$ brzegiem koła

$B_{2}={\big \{}(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\colon x^{2}+y^{2}\leqslant 1{\big \}}$

jest okrąg

$C_{2}={\big \{}(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\colon x^{2}+y^{2}=1{\big \}},$

jednak zanurzenie koła $B_{2}$ w $\mathbb {R} ^{3}$ jest zbiorem brzegowym, natomiast w topologii $\mathbb {R} ^{3}$ zrelatywizowanej do $B^{2}$ zbiór ten nie ma brzegu.

W przestrzeni euklidesowej każdy zbiór domknięty jest brzegiem pewnego zbioru.

Zobacz też

• pochodna zbioru
• wnętrze, zewnętrze

Linki zewnętrzne

• AchilleA. Varzi AchilleA., Boundary, [w:] Stanford Encyclopedia of Philosophy, CSLI, Stanford University, 10 października 2013, ISSN 1095-5054 [dostęp 2017-12-30]  (ang.). (Brzeg)