Brzeg (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy pojęcia matematycznego. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.
Zbiór (jasnoniebieski) wraz z jego brzegiem (ciemnoniebieski).

Brzeg – pojęcie topologiczno-geometryczne oddające i formalizujące intuicję punktów „granicznych” danego zbioru, czy figury, czy też „ograniczających” je.

Zachowanie funkcji na brzegu dziedziny może się znacząco różnić od zachowania w jego wnętrzu (tzn. w dziedzinie z wyłączeniem brzegu); z tego też powodu w analizie pochodne rozpatruje się zwykle wyłącznie na (niepustych) zbiorach bez brzegu, tzw. zbiorach otwartych. Zadanie z postawionymi warunkami ograniczającymi rozwiązania równania różniczkowego na brzegu badanego zbioru nazywa się zagadnieniem brzegowym. Jednym ze znanych wyników rachunku różniczkowego i całkowego wiążącym pole powierzchni brzegu z obejmowaną przez niego objętością jest twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa (a w ogólności – twierdzenie Stokesa). Ważnym twierdzeniem topologicznym dotyczacym pojęcia brzegu jest twierdzenie Baire'a.

Opisane w artykule pojęcie brzegu różni się pojęć brzegów dla rozmaitości topologicznych, czy kompleksów symplicjalnych.

Definicja i własności[edytuj | edytuj kod]

Punkt B jest punktem brzegowym jasnobłękitnego zbioru, gdyż dowolne jego otoczenie (w szczególności błękitna kula o środku w tym punkcie) zawiera punkty należące do zbioru, jak i spoza niego.

Niech dana będzie przestrzeń topologiczna \scriptstyle X oraz zawarty w niej zbiór \scriptstyle A. Punktem brzegowym \scriptstyle A nazywa taki punkt przestrzeni \scriptstyle X, którego dowolne otoczenie zawiera punkty należące zarówno do \scriptstyle A, jak i jego dopełnienia \scriptstyle A^\mathrm c. Brzegiem zbioru \scriptstyle A nazywa się zbiór wszystkich jego punktów brzegowych, który zwykle oznacza się jednym z symboli \scriptstyle \mathrm{bd}\; A,\ \mathrm{fr}\; A,\ \partial A (od ang. boundary, frontier).

Niech \scriptstyle \mathrm{cl}\ A oraz \scriptstyle \mathrm{int}\ A oznaczają odpowiednio domknięcie i wnętrze (topologia) zbioru \scriptstyle A. Wówczas brzeg zbioru można zdefiniować za pomocą tożsamości

\mathrm{bd}\ A = \mathrm{cl}\ A \cap \mathrm{cl}\ A^\mathrm c,

bądź

\mathrm{bd}\ A = \mathrm{cl}\ A \setminus \mathrm{int}\ A.

Wprost z definicji wynika, że brzeg zbioru jest:

Domknięcie jest sumą zbioru i jego brzegu,

\mathrm{cl}\ A = A \cup \mathrm{bd}\ A,

więcej: zbiór jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera swój brzeg oraz otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma punktów wspólnych ze swoim brzegiem. Brzeg zbioru jest pusty wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jest jednocześnie otwarty i domknięty; mówi się wtedy, że zbiór „nie ma brzegu”. Zbiór o pustym wnętrzu nazywa się zbiorem brzegowym.

Dla dowolnego zbioru \scriptstyle A zachodzi

\mathrm{bd}\ A \supseteq \mathrm{bd}(\mathrm{bd}\ A),

przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \scriptstyle A jest brzegowy (co ma miejsce np. wtedy, gdy \scriptstyle A jest otwarty lub domknięty). Ponieważ brzeg jest zbiorem domkniętym, to

\mathrm{bd}(\mathrm{bd}\ A) = \mathrm{bd}\bigl(\mathrm{bd}(\mathrm{bd}\ A)\bigr)

dla dowolnego zbioru \scriptstyle A, czyli operator brzegu \scriptstyle \mathrm{bd} spełnia pewną słabszą postać idempotentności.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Brzeg składowych zbioru Mandelbrota o okresach od 1 do 6.

Niech \mathbb R oznacza zbiór liczb rzeczywistych z jej naturalną topologią. Wówczas

  • \mathrm{bd}\ \mathbb R = \mathrm{bd}\ \varnothing = \varnothing,
  • \mathrm{bd}\ (0, 5) = \mathrm{bd}\ [0, 5) = \mathrm{bd}\ (0, 5] = \{0, 5\},
  • \mathrm{bd}\ \left\{1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{4}, \dots\right\} = \left\{0, 1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{4}, \dots\right\},
  • \mathrm{bd}\ \mathbb Q = \mathrm{bd}\ \mathbb Q^\mathrm c = \mathbb R.

Ostatnie dwa przykłady pokazują, że brzeg zbioru może być nadzbiorem danego zbioru. Pojęcie brzegu zbioru w istotny sposób zależy od topologii przestrzeni: w naturalnej topologii przestrzeni euklidesowej \scriptstyle \mathbb R^2 brzegiem koła

B_2 = \bigl\{(x, y) \in \mathbb R^2\colon x^2 + y^2 \leqslant 1\bigr\}

jest okrąg

C_2 = \bigl\{(x, y) \in \mathbb R^2\colon x^2 + y^2 = 1\bigr\},

jednak zanurzenie koła \scriptstyle B_2 jest zbiorem brzegowym w \scriptstyle \mathbb R^3, natomiast w topologii \scriptstyle \mathbb R^3 zrelatywizowanej do \scriptstyle B^2 zbiór ten nie ma brzegu.

W przestrzeni euklidesowej każdy zbiór domknięty jest brzegiem pewnego zbioru.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]