Paradoks petersburski

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Paradoks petersburski, inaczej gra petersburska, to pojęcie używane w teorii decyzji i rachunku prawdopodobieństwa opisujące grę losową, która mimo posiadania nieskończonej wartości oczekiwanej posiada jednocześnie ograniczoną wartość pieniężną dla większości ludzi. Problem został po raz pierwszy sformułowany przez Daniela Bernoulliego w 1738 roku, który jednocześnie zaproponował jego wyjaśnienie przy pomocy funkcji użyteczności. Mimo nazwy, nie jest to paradoks w ścisłym sensie tego słowa, ale raczej ilustracja tego, że ludzie zazwyczaj w warunkach niepewności nie podejmują decyzji kierując się kryterium maksymalizacji pieniężnej wartości oczekiwanej. Problem ten położył podwaliny pod współczesną teorię oczekiwanej użyteczności.

Przykładowe sformułowanie[edytuj | edytuj kod]

Przykładem paradoksu petersburskiego jest następująca gra losowa, uczestnictwo w której kosztuje ustaloną kwotę pieniędzy. Gra polega na rzucie symetryczną monetą, i trwa aż do pojawienia się pierwszego orła. Wygrana gracza wynosi 1 złoty i zostaje podwojona, za każdym razem gdy wypadnie reszka. Przykładowo, wygrana wynosi 1 złoty, jeżeli za pierwszym razem wypadnie orzeł; 2 złote, jeżeli w pierwszym rzucie wypadnie reszka, a w drugim orzeł; 4 złote, jeżeli w pierwszych dwóch rzutach wypadnie reszka a w trzecim orzeł; itd.

Prawdopodobieństwo pk, że pierwszy orzeł wypadnie w rzucie numer k wynosi:

p_k=\frac{1}{2^k}

A więc, gracz wygrywa 1 złoty z prawdopodobieństwem 0,5, 2 złote z prawdopodobieństwem 0,25, 4 złote z prawdopodobieństwem 0,125, itd. Wartość oczekiwana gry wynosi zatem:

E=\frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{4}\cdot 2 + \frac{1}{8}\cdot 4 + \frac{1}{16}\cdot 8 + \cdots=\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots

i jest nieskończona.

Jeżeli uczestnik gry kieruje się wyłącznie maksymalizacją wartości oczekiwanej, wówczas powinien zdecydować się w niej uczestniczyć, niezależnie od tego, ile musi zapłacić za uczestnictwo. Mimo to, większość ludzi nie jest skłonnych uczestniczyć w takiej grze, jeżeli uczestnictwo w niej kosztuje więcej niż około 25 złotych.

Wyjaśnienie paradoksu[edytuj | edytuj kod]

Wyjaśnienie przy pomocy funkcji użyteczności[edytuj | edytuj kod]

Symulacja wygranych w paradoksie petersburskim

Jest to oryginalne wyjaśnienie zaproponowane przez Bernoulliego, który zauważył, że "zysk tysiąca dukatów jest dużo więcej warty dla biedaka niż dla bogacza, mimo że kwota wygranej jest jednakowa".[1] W związku z tym, Bernoulli sugerował, aby użyteczność wygranych oceniać przy pomocy funkcji logarytmicznej: u(x) = ln(x). Zgodnie z tym sformułowaniem, użyteczność gry jest skończona i wyraża się wzorem:

\mathbb EU = \sum_{k=1}^\infty p_k\cdot u(2^{k-1}) = \sum_{k=1}^\infty {\ln(2^{k-1}) \over {2^k}} = \ln 2 = u(2) < \infty

Zgodnie z tym wyliczeniem gra jest warta dokładnie dwa złote.

W 1728 roku podobne rozwiązanie paradoksu petersburskiego podał również szwajcarski matematyk Gabriel Cramer, używając jako funkcji użyteczności pierwiastka kwadratowego.

Wyjaśnienie to nie jest do końca ścisłe. Jeżeli funkcja użyteczności jest nieograniczona, tak jak ma to miejsce w przypadku logarytmu zaproponowanego przez Bernoulliego, wówczas zawsze można dobrać wypłaty i prawdopodobieństwa tak, że wartość oczekiwana użyteczności z gry będzie nieskończona, przez co paradoks pozostanie nierozwiązany. W tym celu wystarczy wartości 1 złoty, 2 złote, 4 złote, ... w przykładzie powyżej zastąpić wartościami  x_1, x_2, x_3, ... takimi, że  U(x_i) = 2^i dla każdego i. Tak zdefiniowana loteria ma nieskończoną wartość oczekiwaną funkcji użyteczności, a co za tym idzie nieskończony ekwiwalent pewności. Po raz pierwszy zauważył to w 1934 roku Karl Menger.[2] W świetle tego wyniku powszechnie zaczęto wprowadzać dodatkowe założenie, że funkcja użyteczności powinna być ograniczona.

Wyjaśnienie przy pomocy skończonych loterii[edytuj | edytuj kod]

Inne wyjaśnienie paradoksu petersburskiego wynika z faktu, że nieskończona wartość oczekiwana gry jest konsekwencją bardzo wysokich wygranych zdarzających się niezmiernie rzadko. Jeżeli założyć, że strona mająca wypłacić wygraną nie jest wypłacalna powyżej pewnej kwoty, wówczas wartość oczekiwana wygranej jest skończona. Bardziej precyzyjnie, jeżeli wartość wygranej jest ograniczona do L prób, wówczas wartość oczekiwana gry wynosi.

\mathbb E = \sum_{k=1}^L p_k 2^{k-1}+2^{L-1}\sum_{k=L+1}^\infty p_k=\sum_{k=1}^L{1 \over 2}+2^{L-1}(1-(1-{1 \over {2^L}}))={L+1 \over 2},

Przykładowo, jeżeli strona mająca wypłacić wygraną posiada tylko 64 złote, wówczas L=6, ponieważ 2^6 = 64, a zatem wartość gry wynosi w tym przypadku 3,50 złotego. Co więcej, wartość oczekiwana rośnie bardzo wolno wraz z zasobnością strony mającej wypłacić wygraną. Na przykład, jeżeli dysponuje ona zasobami w wysokości biliona złotych (więcej niż PKB Polski w 2005 roku), wówczas L = 39, ponieważ 2^{40} > 1\ 000\ 000\ 000\ 000 i wartość oczekiwana gry obliczona na podstawie wzoru powyżej wynosi 20 złotych.

Przypisy

  1. There is no doubt that a gain of one thousand ducats is more significant to the pauper than to a rich man though both gain the same amount.
  2. Menger Karl, Das Unsicherheitsmoment in der Wertlehre, Zeitschrift für Nationalökonomie, 51 (1934): 459-85.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]