Prawo Coulomba

Waga skręceń Coulomba

Prawo Coulomba – jedno z podstawowych praw fizyki, opisujące siłę oddziaływania elektrostatycznego ładunków elektrycznych. Zostało opublikowane w 1785 przez francuskiego fizyka Charlesa Coulomba.

Prawo Coulomba mówi, że siła wzajemnego oddziaływania dwóch punktowych ładunków elektrycznych jest wprost proporcjonalna do iloczynu tych ładunków i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi.

Historia

• W latach 1745–1756 badania siły oddziaływania między okładkami naładowanej butelki lejdejskiej prowadził gdańszczanin Daniel Gralath. Nie sformułował on systematycznych zależności ilościowych.

• W 1767 Joseph Priestley w książce The History and Present State of Electricity zauważył, że siły elektryczne są podobne do sił grawitacji, ale nie rozwinął tego tematu.

• Prawdopodobnie pierwszym badaczem, który ilościowo określił siły oddziaływanie między ładunkami był Henry Cavendish, który w 1771 i 1776 napisał na temat zjawisk elektrycznych duże artykuły dla brytyjskiego Royal Society. Prace te nie znalazły szerszego oddźwięku.

• W 1785 Charles Coulomb opisał cykl prac, w których posługując się skonstruowaną przez siebie precyzyjną wagą skręceń określił siły działające pomiędzy ładunkami elektrycznymi.

Sformułowanie skalarne

Siła F oddziaływania dwóch ładunków punktowych q₁ i q₂ jest wprost proporcjonalna do wielkości każdego z ładunków i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi r. Można to przedstawić za pomocą wzoru:

$F=k {q_1 q_2\over r^2}$,

w którym:

k – współczynnik proporcjonalności wyrażany w układzie SI przez:

$k={1\over4\pi\varepsilon}={1\over4\pi\varepsilon_r \varepsilon _{0}}$

gdzie:

$\varepsilon$ – przenikalność elektryczna ośrodka;

$\varepsilon_r$ – względna przenikalność elektryczna ośrodka;

$\varepsilon _{0}$ – przenikalność elektryczna próżni.

Sformułowanie wektorowe

Kierunek działania siły oddziaływania ładunków wyznacza prosta przechodząca przez oba te ładunki, natomiast zwrot określają znaki ładunków. Jeżeli są one jednoimienne, oddziaływanie jest odpychaniem. W przypadku ładunków różnoimiennych ładunki przyciągają się. Siłę oddziaływania ładunku A na ładunek B można przedstawić wzorem wektorowym:

$\vec{F}_{BA}= \frac{1}{4\pi \varepsilon_r \varepsilon _{0}} \cdot \frac{q_{A} q_{B}}{r_{AB}^{2}}\cdot \frac {\vec{r}_{AB}}{{r}_{AB}}$

gdzie poszczególne wielkości pokazane są na rysunku. Jeżeli przez $\vec r_A$ i $\vec r_B$ oznaczymy wektory wodzące odpowiednio ładunków Q_A i Q_B wtedy $\vec r_{AB} = \vec r_B - \vec r_A$ i otrzymujemy

$\vec{F}_{BA}= \frac{1}{4\pi \varepsilon_r \varepsilon _{0}} \cdot \frac{q_{A} q_{B}}{|\vec r_B - \vec r_A|^{2}}\cdot \frac {\vec r_B - \vec r_A}{|\vec r_B - \vec r_A|}$

Konsekwencje prawa Coulomba

Określona zgodnie z prawem Coulomba siła oddziaływania ładunku Q na inne ładunki w jego sąsiedztwie jest siłą centralną. Jest również siłą zachowawczą. W otoczeniu ładunku Q można określić pole elektryczne i przypisać mu natężenie

$\vec{E}(\vec r) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_r \varepsilon _{0}} \cdot \frac{Q}{r^{2}}\cdot \frac {\vec{r}}{r}$

Prawo Coulomba zostało sformułowane jako prawo doświadczalne, a wielkość wykładnika przy r równa −2 ma bardzo zasadnicze znaczenie. Jedynie przy jego wielkości równej dokładnie −2 pole elektryczne zanika wewnątrz sferycznych ładunków i możemy dla niego sformułować prawo Gaussa. Według aktualnych danych doświadczalnych wykładnik jest równy −2 z dokładnością co najmniej (2,7±3,1)⋅10⁻¹⁶.

Prawo Coulomba dla układu ładunków punktowych

Z wykorzystaniem zasady superpozycji możemy znaleźć siłę, z którą układ N ładunków punktowych q_i działa na ładunek punktowy q:

$\vec{F}(\vec{r}) = {q \over 4\pi\varepsilon_0}\sum_{i=1}^N {q_i(\vec{r} - \vec{r}_i) \over |\vec{r} - \vec{r}_i|^3}$

gdzie $\vec {r}_i$ to położenie ładunku $q_i$

Prawo Coulomba dla ładunków rozciągłych

Prawo Coulomba umożliwia obliczenie siły oddziaływania nie tylko ładunków punktowych, ale również dowolnego rozkładu ładunków elektrycznych. Obliczenie oddziaływania dwóch ciał o ciągłym rozkładzie ładunków wymaga całkowania po oddziaływaniach cząstkowych

$\vec{F}_{BA}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_r \varepsilon _{0}}\iint\limits_{q_{A}\,q_{B}}{\frac{dq_{A}\cdot dq_{B}}{r_{AB}^{3}}\vec{r}_{AB}}$

W szczególnych przypadkach, dla ciał o symetrycznym rozkładzie ładunku, wzór na siłę oddziaływania staje się prostszy. W szczególności, dla symetrii sferycznej (np. kula, sfera, centralnie wydrążona kula, kula o gęstości ładunku zmieniającym się radialnie) wzór ten jest taki sam jak dla dwóch ładunków punktowych.