Siła zachowawcza

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Układ planetarny tworzy układ odosobniony ciał oddziałujących siłami grawitacji. Energia mechaniczna poszczególnych ciał układu nie ulega zmianie, gdyż siły grawitacyjne oddziaływań między ciałami układu są siłami centralnymi.

Siła zachowawcza – siła mająca tę własność, że praca wykonana przez nią przy przemieszczaniu ciała na drodze o początku A i końcu B zależy tylko od położenia punktów A i B, nie zależy zaś od przebiegu drogi, czyli od toru ruchu[1] s.65.

Z definicji wynika, że praca wykonana przez siłę zachowawczą na drodze zamkniętej jest równa zeru. Dlatego np. po okrążeniu Słońca, prędkość dowolnej planety jest taka sama, jak w chwili, gdy poprzednio była w tym samym miejscu. Ponadto, energia mechaniczna ciała poddanego działaniu siły zachowawczej jest w każdej chwili taka sama i nie ulega zmianie z upływem czasu.

Siły zachowawcze[edytuj | edytuj kod]

Siłami zachowawczymi są wszystkie siły centralne. Np. siłami centralnymi są siły grawitacyjne w klasycznej teorii grawitacji Newtona, siły kulombowskie oddziaływań między ciałami posiadającymi ładunki elektryczne. Także siły sprężystości ciał doskonale sprężystych są siłami centralnymi[1] s.71-73.

Siła niecentralna może być siłą zachowawczą, jeżeli nie zależy od wektora prędkości ciała[1] s.64 lub też zależy od wektora prędkości, ale działa prostopadle do niego (jak jest w przypadku siły Lorentza). Siła Lorentza jest zachowawcza, gdyż nie wykonuje pracy, a tym samym nie zmienia energii układu[1] s.76.

Siłę, która nie jest zachowawcza, nazywa się siłą niezachowawczą. Siłami niezachowawczymi są np. siła tarcia, siła oporu ruchu powstająca w trakcie przemieszczania się ciała w ośrodku materialnym (np. w powietrzu). Siły te zależą od prędkości ciała i są skierowane przeciwnie do wektora prędkości. Ciało w wyniku tego oddziaływania traci energię mechaniczną[1] s.117-118. Siłą niezachowawczą jest też siła powstająca w silniku na skutek przemiany energii niemechanicznej (np. chemicznej, cieplnej, jądrowej) w energię mechaniczną. Np. siła napędu pojazdu poruszającego się po poziomej drodze powodująca jego ruch przyspieszony jest siłą niezachowawczą: energia kinetyczna rośnie, a energia potencjalna grawitacji jest stała – rośnie więc całkowita energia układu.

Siły zachowawcze potencjalne[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Potencjał.
Praca w polu sił zachowawczych nie zależy od toru, po jakim przemieszcza się ciało. Pokazano tu dwa spośród wielu możliwych torów prowadzących od A do B.

Jeżeli punkt materialny porusza się w polu sił grawitacyjnych znacznie bardziej masywnego ciała, a pole sił nie zmienia się w czasie, to siła zależy jedynie od położenia ciała względem centrum pola. W takiej sytuacji możliwe jest zdefiniowanie pojęcia energii potencjalnej ciała oraz energii mechanicznej jako sumy energii kinetycznej i potencjalnej ciała. Ponadto, tak zdefiniowana energia mechaniczna jest niezmienna, mimo że jej składniki (tj. energia kinetyczna i potencjalna) mogą zmieniać się na skutek ruchu ciała[1] s.64.

Wykazanie powyżej wymienionych własności opiera się na wynikach teorii pola. Teoria ta dowodzi, że jeżeli pole sił jakie działa na punkt materialny ze strony otoczenia nie zależy jawnie od czasu ani prędkości ciała, a jedynie od jego położenia w przestrzeni \vec r=(x,y,x), tj.

\vec F=\vec F(\vec r)

oraz rotacja siły równa się 0 w każdym punkcie pola

\text{rot}\,\,\vec F=0

to można znaleźć pole skalarne  V(\vec r) niezależne od czasu, zwane potencjałem pola sił[2] lub energią potencjalną, którego gradient jest równy tej sile (z dokładnością do znaku)[1] s.62-68,[3] s.19

\vec F(\vec r)=-\text{grad}\,\,V(\vec r)
= - \Bigg( 
\frac{\partial{V}}{\partial x},
\frac{\partial{V}}{\partial y},
\frac{\partial{V}}{\partial z} 
\Bigg)

Wtedy suma energii potencjalnej V i kinetycznej T ciała

E=T+V

jest niezależną od czasu energią punktu materialnego.

Niezależność pracy sił zachowawczych od drogi[edytuj | edytuj kod]

Z istnienia potencjału siły wynika, że praca jaką siła pola \vec F (\vec r) wykonuje przy przemieszczaniu ciała po dowolnej drodze między wybranymi punktami nie zależy od wybory tej drogi, a zależy jedynie od wartości energii potencjalnej w punktach początkowym i końcowym, gdyż[1] s.64-65

\int_{\vec r_0}^{\vec r} \vec F(\vec r) d\vec r
= -[V(\vec r)-V(\vec r_0)]

Praca na drodze zamkniętej[edytuj | edytuj kod]

Z powyższej całki wynika, że praca sił pola na drodze o zamienionych punktach początkowym i końcowym będzie miała przeciwny znak. Stąd natychmiast wynika, że praca przy przemieszczaniu ciała w polu sił zachowawczych po torze zamkniętym jest równa zeru. Oznaczając przez S dowolny tor zamknięty powyższą własność można zapisać w postaci

\oint\limits_{S}{\vec F(\vec r)\cdot d\vec{r}}=0

Wyznaczanie potencjału dla siły potencjalnej[edytuj | edytuj kod]

Aby wyznaczyć energię potencjalną V(\vec r) dla danego pola sił \vec F (\vec r) należy wykonać całkowanie po dowolnej krzywej, łączącej wybrany punkt odniesienia \vec r_0 z punktem \vec r

V(\vec r)
= -\int_{\vec r_0}^{\vec r} \vec F(\vec r) d\vec r+V(\vec r_0)

Energia potencjalna jest wyznaczona z dokładnością do stałej addytywnej V(\vec r_0) . Z drugiej strony, wybór punktu \vec r_0 jest dowolny, stąd dla różnych wyborów otrzyma się różne wartości energii potencjalnej. Istotna jest jednak tylko różnica potencjałów między dwoma punktami pola.

Praca w polu sił potencjalnych[edytuj | edytuj kod]

Możliwość zdefiniowania energii potencjalnej dla danego pola sił pozwala łatwo obliczyć pracę potrzebną do przeniesienia ciała z jednego punktu pola w inne. Pozwala to np. planować ilość paliwa potrzebną do wyrzucenia satelity na orbitę lub do odbycia podróży międzyplanetarnej. Ponieważ trzeba przy tym działać siłą \vec F_z(\vec r)=-\vec F(\vec r), która równoważ siłę pola, to

W_{\vec r_A\to \vec r_B}
= -\int_{\vec r_A}^{\vec r_B} \vec F(\vec r) d\vec r
= -\int_{\vec r_0}^{\vec r_B} \vec F(\vec r) d\vec r - \int_{\vec r_A}^{\vec r_0} \vec F(\vec r) d\vec r

czyli

W_{\vec r_A\to \vec r_B}
= V(\vec r_B)-V(\vec r_A)

co oznacza, że praca ta jest równa różnicy energii potencjalnych między punktem końcowym a początkowym.

Przykład: praca w polu grawitacyjnym[edytuj | edytuj kod]

Satelity geostacjonarne umieszczone na orbicie okołoziemskiej posiadają znacznie większe energie potencjalne niż na powierzchni Ziemi. Między innymi z tego względu wyniesienie satelity na orbitę wymaga dużej ilości paliwa.

Ze znajomości siły oddziaływań grawitacyjnych można wyprowadzić wzór na energię potencjalną grawitacji ciał w polu grawitacyjnym Ziemi

V(r)=-\frac{GmM_Z}{r}

gdzie:

  • G = 6,67384(80) \cdot 10^{-11} \frac {\operatorname {m}^3}{\operatorname {kg} \, \operatorname {s}^2}\, - uniwersalna stała grawitacyjna
  • M_Z=\text{5,9736}\cdot 10^{24}\ \operatorname{kg} \approx \text{6} \cdot 10^{24}\ \operatorname{kg} - masa Ziemi
  • m - masa ciała
  • r - odległość między środkami mas Ziemi i ciała o masie m

Rozważmy problem wyniesienia satelity na orbitę geostacjonarną, której promień wynosi rB = 42164 km z powierzchni Ziemi (promień Ziemi rA  = 6,378 km). Ilość energii paliwa potrzebnej na samo tylko zwiększenie energii potencjalnej satelity jest równa różnicy energii potencjalnych w punktach A i B

W_{r_A\to r_B}
=-\frac{GmM}{r_B}-\bigg(\!\!-\frac{GmM}{r_A}\bigg)

Podstawiając do powyższego wzoru wartości liczbowe (w tym masę m satelity) otrzymuje się wartość liczbową pracy, którą można przeliczyć na litry paliwa. Potrzebna jest do tego tylko znajomość wartości energetycznej danego palia rakietowego (patrz: stałe paliwo rakietowe).

Siły zachowawcze niepotencjalne[edytuj | edytuj kod]

Siła Lorentza jest siłą zachowawczą, choć nie jest siłą potencjalną. Jest to siła wywierana na cząstkę naładowaną przez pole magnetyczne B. Cząstka poruszając się w polu zmienia kierunek swego ruchu, ale nie zmienia prędkości, dlatego energia cząstki jest zachowana. Zwrot siły Lorentza zależy od znaku q ładunku cząstki.

Wszystkie siły, dla których istnieje potencjał niezależny od czasu, są siłami zachowawczymi. Istnieją jednak siły, które nie są siłami potencjalnymi, mimo to są siłami zachowawczymi w tym sensie, że energia całkowita układu poddanego działaniu tych sił nie ulega zmianie. Przykładem może być siła Lorentza działająca na naładowaną cząstkę poruszającą się w polu magnetycznym

\vec{F} = q \vec{v} \times \vec{B}

gdzie:

Z powyższego wzoru wynika, że siła Lorentza działa zawsze prostopadle do wektora prędkości cząstki, nie wykonuje więc pracy, a tym samym nie zmienia energii cząstki. Podobnie jak dla innych sił zachowawczych także praca siły Lorentza nie zależy od drogi, jaką pokonuje cząstka między dwoma punktami – w tym wypadku praca ta zawsze jest równa zeru[4][5].

Trzeba zaznaczyć, że niektórzy autorzy nie definiują sił niepotencjalnych o powyższych własnościach jako siły zachowawcze, zawężając pojęcie sił zachowawczych jedynie do sił potencjalnych niezależnych od czasu[6].

Siły zachowawcze układu N ciał[edytuj | edytuj kod]

Pojęcie potencjału (energii potencjalnej) oraz sił zachowawczych można wprowadzić nie tylko w odniesieniu do pojedynczego ciała (jak to było omawiane powyżej), ale także w odniesieniu do układu złożonego z wielu ciał, które oddziałują ze sobą i z otoczeniem[1] s.100-116.

Rozważmy układ N swobodnych punktów materialnych, których położenia dane są przez wektory \vec r_a \,\,(a=1,2,\ldots,N) w przestrzeni fizycznej \mathbf{R}^3; niech \vec F_a oznacza siłę wypadkową, jaka działa na a-te ciało, pochodzącą od innych ciał układu oraz od ciał otoczenia.

Jeżeli dla sił \vec F_a istnieje (jednoznaczna) funkcja w ogólności zależna od czasu V(\vec r, t)=V(\vec r_1,\ldots,\vec r_N;t) taka że

\vec F_a = - \nabla_a V(\vec r_1,\ldots,\vec r_N;t)=- \frac{\part_a V(\vec r_1,\ldots,\vec r_N;t)}{\part {\vec r_a}}
\qquad (a=1,2,\ldots,N)

to mówi się, że siły działające na układ punktów materialnych są potencjalne, zaś funkcję V nazywa się potencjałem sił \vec F_a \,\,(a=1,2,\ldots,N). W układzie współrzędnych kartezjańskich wektory wodzące ciał można przedstawić w jako \vec r_a=(r_a, y_a, z_a) i powyższy wzór przyjmuje postać[1] s.115-116

\vec F_a= - \Bigg( 
\frac{\partial{V}}{\partial x_a},
\frac{\partial{V}}{\partial y_a},
\frac{\partial{V}}{\partial z_a} 
\Bigg)

Jeżeli ponadto potencjał nie zależy jawnie od czasu: V(\vec r)=V(\vec r_1,\ldots,\vec r_N), to potencjał nazywany jest energią potencjalną układu punktów materialnych w położeniach \vec r_1,\ldots,\vec r_N w polu sił, a siły\vec F_a(\vec r_a) \,\,(a=1,2,\ldots,N) są zachowawcze[1] s.116.

Siły potencjalne niezachowawcze[edytuj | edytuj kod]

Siłami potencjalnymi nazywa się w ogólności siły, dla których istnieje funkcja skalarna (zwana potencjałem) taka że jej gradient jest równy danej sile. Okazuje się, że oprócz sił potencjalnych niezależnych od czasu (por. wyżej) istnieją siły potencjalne zależne od czasu[7] s.333

\vec F(\vec r,t)=-\text{grad}\,\,V(\vec r,t)

Siły te nie są jednak siłami niezachowawczymi: działając na ciała zmieniają ich energię całkowitą[7] s.333.

Przykład: Cząstka naładowana w zmiennym polu elektrycznym[edytuj | edytuj kod]

Niech cząstka o ładunku q znajduje się w zmiennym polu elektrycznym takim że działa na nią siła[7] s.336

\vec F_E(\vec r,t)=q \vec E_0 \text{cos}\,(\omega t)

gdzie

  • \vec E_0 - wektor natężenia pola elektrycznego w chwili początkowej
  • \omega - częstotliwość kołowa zmian pola

Obierając oś z układu współrzędnych kartezjańskich wzdłuż wektora \vec E_0 można obliczyć potencjał

V(\vec r,t)=-\int_0^z \vec F_E(\vec r,t) d\vec r=-q E_0 z\, \text{sin}\, \omega t

Pole sił \vec F_E(\vec r,t) posiada więc potencjał, ale nie jest zachowawcze, gdyż pochodna potencjału względem czasu nie zeruje się

\frac{\partial{V}(\vec r,t)}{\partial t}
=
qE_0 z \text{cos}\, \omega t \ne 0

Cząstka w takim polu sił ma zmienną w czasie energię. Niezależność sił potencjalnych od czasu jest więc istotna, aby siły były zachowawcze.

Siły zachowawcze a niezachowawcze[edytuj | edytuj kod]

Podział sił na siły zachowawcze i niezachowawcze wynika z przyjętego poziomu dokładności opisu zjawisk. Oddziaływania zachodzące na najbardziej podstawowym poziomie, tj. między cząstkami elementarnymi, zawsze spełniają zasady zachowania, w tym zasadę zachowania energii, zawsze więc są oddziaływaniami zachowawczymi. Na tym poziomie opisu nie ma sił niezachowawczych[8].

Jednak dla przykładu tarcie jest traktowane w mechanice klasycznej jako oddziaływanie niezachowawcze. Jest tak dlatego, że nie uwzględnia się energii wewnętrznej ciał (tj. energii ruchów chaotycznych cząsteczek, tworzących ciała oraz energii ich wzajemnych oddziaływań). Korzyścią z takiego ujęcia jest możliwość pominięcia opisu ruchu miliardów cząsteczek, tworzących ciała makroskopowe. Mechanika klasyczna nie uwzględnia także wielu innych rodzajów energii, jakie mogą pojawiać się w oddziaływaniach, np. energii chemicznej, jądrowej, elektromagnetycznej. Dlatego tylko niektóre siły wprowadzane w mechanice klasycznej są zachowawcze.

Zawsze jednak można wprowadzić opis dokładniejszy. W opisie ruchów układów mechanicznych podział na siły zachowawcze i niezachowawcze jest więc sprawą wyboru i nie jest jednoznaczny)[1] s.117.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 W. Królikowski, W. Rubinowicz: Mechanika teoretyczna. Warszawa: PWN, 2012.
  2. Pojęcie potencjału znane z kursu fizyki w szkole średniej odnosi się do natężenia pola grawitacyjnego czy elektrycznego. Tu wprowadzone pojęcie potencjału jest ogólniejsze, bo dotyczy dowolnego pola wektorowego.
  3. L. D. Landau, E. M. Lifszyc: Mechanika. Warszawa: PWN, 2011.
  4. J. Orear, Fizyka, t. 1, wydanie VI, Wydawnictwa Naukowo Techniczne, Warszawa 1998, ISBN 83-204-2451-8, s.100
  5. Ilustrowana encyklopedia dla wszystkich. Fizyka, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1991, wyd.3, ISBN 83-204-1192-0, 256
  6. R. Resnick, D. Halliday, Fizyka 1, wydanie IX, PWN, Warszawa 1993, ISBN 83-01-09323-4
  7. 7,0 7,1 7,2 A. K. Wróblewski, J. A. Zakrzewski: Wstęp do fizyki. T. I. Warszawa: PWN, 1984, s. 418 - 419. ISBN 83-01-01359-1.
  8. D. J. Griffiths: Introduction to Elementary Particles. New York: Wiley-VCH, 1987. ISBN 978-3-527-40601-2.